L’elevato valore delle resistenze impiegate nelle reti passive e nei circuiti invertenti può portare ad un peggioramento del rapporto segnale/rumore. D’altro canto, lo zero aggiuntivo ad amplificazione unitaria della configurazione non-invertente pone un limite all’accuratezza dell’equalizzazione RIAA alle alte frequenze.
Il peggioramento del rapporto/segnale rumore delle reti passive e della configurazione invertente, e la limitata accuratezza alle alte frequenze della configurazione non-invertente, possono essere risolti suddividendo la funzione RIAA in due stadi.
Lo stadio attivo fornisce il primo polo e lo zero della funzione RIAA, mentre lo stadio passivo fornisce il secondo polo.
In questo modo, lo stadio passivo assicura la corretta attenuazione alle alte frequenze come richiesto dalla funzione RIAA, mentre l’uso di due stadi separati favorisce un dimensionamento orientato alla riduzione del rumore. Per contro, il progetto di un preamplificatore fonografico con equalizzatore a due stadi risulta più articolato, in quanto ciascuno stadio va esaminato separatamente.
L’analisi del circuito, dalla quale si ricava la procedura di dimensionamento descritta al paragrafo 2, può essere effettuata considerando separatamente i due stadi.
Analisi del circuito
Stadio attivo
Il primo stadio fornisce il primo polo, \(\tau_{p1}\) = 3180 µs, e lo zero \(\tau_{z}\) = 318 µs, della funzione RIAA mediante la rete in retroazione all’amplificatore operazionale.
La funzione di trasferimento del primo stadio, ottenuta dalla formula dell’amplificatore non-invertente, è: \[A_v(s)=\frac{Z_r+R_0}{R_0}=\frac{R_1||Z_{C_1}+R_2+R_0}{R_0}\label{eq:1}\]
Sviluppando e raccogliendo si ottiene: \[A_v(s)=\frac{\frac{R_1}{sR_1C_1+1}+R_2+R_0}{R_0}=\frac{sR_1C_1(R_0+R_2)+R_0+R_1+R_2}{R_0(sR_1C_1+1)}\label{eq:2}\]
Fattorizzando per \(\left [\frac{R_0+R_1+R_2}{R_0} \right ]\), che è l’amplificazione in continua dello stadio, la \eqref{eq:2} diventa: \[A_v(s)=\left [\frac{R_0+R_1+R_2}{R_0} \right ]\left [\frac{sR_1C_1\frac{R_0+R_2}{R_0+R_1+R_2}+1}{sR_1C_1+1} \right ]\label{eq:3}\] che è espressa nella forma: \[A_v(s)=A_{dc} \frac{s \tau_z+1}{s \tau_{p1}+1}\label{eq:4}\] dove \(A_{dc}\) rappresenta il guadagno in continua. Confrontando la \eqref{eq:3} con la \eqref{eq:4}, dal denominatore del secondo termine della \eqref{eq:3} si ha il primo polo, la cui costante di tempo è data da: \[\tau_{p1}=R_1C_1=3180\: \mathrm{\mu s}\label{eq:5}\]
Il numeratore del secondo termine della \eqref{eq:3} fornisce invece la costante di tempo dello zero, che vale: \[\tau_z=R_1C_1\frac{R_0+R_2}{R_0+R_1+R_2}=\tau_{p1}\frac{R_0+R_2}{R_0+R_1+R_2}\label{eq:6}\]
Dalla \eqref{eq:6} è possibile, attraverso alcuni passaggi, esplicitare \(R_2\): \[R_2=\frac{R_1}{\frac{\tau_{p1}}{\tau_z}-1}-R_0=\frac{R_1}{9}-R_0\label{eq:7}\]
Infine, dal termine dell’amplificazione in continua è possibile esplicitare \(R_0\): \[R_0=\frac{R_1+R_2}{A_{dc}-1}\label{eq:8}\]
Sostituendo la \eqref{eq:7} nella \eqref{eq:8} ed esplicitando nuovamente \(R_0\), si ha infine che: \[R_0=\frac{R_1+\frac{R_1}{9}-R_0}{A_{dc}-1}=\frac{10}{9}\frac{R_1}{A_{dc}}\label{eq:9}\]
Nel progetto di un preamplificatore fonografico è sicuramente più comodo lavorare in termini di amplificazione a 1 kHz, che è in genere un dato di progetto, piuttosto che in termini di amplificazione in continua. In questo caso, la conversione può essere ricavata facilmente eseguendo il modulo della \eqref{eq:4} e sostituendo \(s\) con \(2\pi f\): \[|A_{v}(f)|=A_{dc} \frac{\sqrt{(2\pi\times \mathrm{1\,kHz\times 318\,\mu s})^2+1}}{\sqrt{(2\pi\times \mathrm{1\,kHz\times 3180\,\mu s})^2+1}}\approx A_{dc}\times 0,112\label{eq:10}\]
Per cui, la \eqref{eq:9} può essere riscritta in funzione dell’amplificazione ad 1 kHz: \[R_0=\frac{10}{9}\frac{R_1}{A_{dc}}\approx\frac{10}{9}\frac{R_1}{\frac{A_{1\mathrm{kHz}}}{0,112}}\approx\frac{R_1}{8,058\times A_{1\mathrm{kHz}}}\label{eq:11}\]
Dalle equazioni \eqref{eq:5}, \eqref{eq:11} e \eqref{eq:7} è possibile eseguire il dimensionamento dei componenti del primo stadio.
Stadio passivo
Il secondo stadio è costituito da una rete RC. Nello schema è stata aggiunta la resistenza di carico \(R_4\), che rappresenta la resistenza d’ingresso dello stadio successivo, in modo da valutare l’effetto di carico.
La funzione di trasferimento, ricavata applicando l’equazione del partitore, è: \[A_v(s)=\frac{Z_{C_3}||R_4}{R_3+Z_{C_3}||R_4}=\frac{\frac{1}{sC_3}||R_4}{R_3+\frac{1}{sC_3}||R_4}\label{eq:12}\]
Sviluppando i paralleli, si ottiene: \[A_v(s)=\frac{\frac{1}{\frac{1}{R_4}+sC_3}}{R_3+\frac{1}{\frac{1}{R_4}+sC_3}}=\frac{R_4}{sC_3R_3R_s+R_3+R_4}\label{eq:13}\]
Fattorizzando per \(\left [\frac{R_4}{R_3+R_4} \right ]\), che è l’amplificazione in continua, si giunge infine a: \[A_v(s)=\left [\frac{R_4}{R_3+R_4} \right ]\left [\frac{1}{sC_3\frac{R_3R_4}{R_3+R_4}+1} \right ]\label{eq:14}\] che è espressa nella forma: \[A_v(s)=A_{dc}\frac{1}{s\tau_{p2}+1}\label{eq:15}\]
Dal denominatore del secondo termine si ottiene quindi il secondo polo della funzione RIAA, la cui costante di tempo \(\tau_{p2}\) = 75 µs è data da: \[\tau_{p2}=C_3\frac{R_3R_4}{R_3+R_4}=C_3R_p=75\mathrm{\,\mu s}\label{eq:16}\] dove \(R_p=R_3||R_4\). Dalla \eqref{eq:16} è quindi possibile eseguire il dimensionamento del secondo stadio.
L’amplificazione della rete, riferita ad 1 kHz, può essere ricavata eseguendo il modulo della \eqref{eq:15} e sostituendo \(s\) con \(2\pi f\): \[|A_v(f)|= A_{dc} \frac{1}{\sqrt{(2\pi\times\mathrm{1\,kHz\times 75\,\mu s})^2+1}}\approx A_{dc}\times0,906\label{eq:17}\]
Dalla \eqref{eq:17} si ha quindi l’attenuazione introdotta dallo stadio passivo.
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