Analisi delle reti RIAA in configurazione non-invertente

L’equalizzazione RIAA può essere ottenuta mediante una rete in retroazione in un amplificatore in configurazione non-invertente, permettendo facilmente di realizzare un preamplificatore fonografico completo impiegando un solo stadio attivo.

La configurazione non-invertente permette di ottenere un basso rumore, permettendo la scelta di resistenze sufficientemente piccole affinché introducano un rumore termico molto basso. Tuttavia, essendo l’amplificazione della configurazione non-invertente: \[A_v=\frac{Z_r}{R_0}+1\label{eq:1}\] (dove Z_r è l’impedenza della rete) è evidente come l’amplificazione non possa mai essere inferiore a 1. Questo ha l’effetto di introdurre uno zero aggiuntivo τ_z2 alla funzione RIAA, come illustrato in figura 2.

Alle alte frequenze, il circuito non è quindi più in grado di seguire il corretto andamento della funzione RIAA, determinando un certo errore. Tuttavia, se il circuito viene dimensionato per un guadagno sostanzialmente alto (ad esempio 40 dB), la frequenza dello zero a guadagno unitario viene a trovarsi ben oltre la banda audio, determinando un errore praticamente trascurabile. È possibile dimostrare che, con una progettazione accurata, l’errore alle alte frequenze può essere mantenuto entro +0,04 dB.

Il circuito può essere dimensionato impiegando le formule relative alla configurazione invertente in quanto, se si sceglie un’amplificazione sufficientemente alta, il termine unitario della \eqref{eq:1} può essere ignorato. Quest’approssimazione introduce un ulteriore errore di -0,05 dB alle basse frequenze dovuto all’interazione tra gli zeri, che è un valore praticamente trascurabile.

Un dimensionamento più accurato può essere ottenuto dall’analisi del circuito, che risulta più complessa, ma permette di minimizzare l’errore in tutta la banda audio.

Si propone quindi un’analisi del circuito non-invertente, dalla quale è possibile ricavare le formule di progetto indicate al pagarafo 2.

1. Analisi del circuito

1.1 Calcolo delle costanti di tempo

Un’analisi più accurata può essere effettuata ricavando la funzione di trasferimento specifica del circuito non-invertente, che vale: \[A_v(s)=\frac{Z_r}{R_0}+1=\frac{R_1||Z_{C_1}+R_2||Z_{C_2}}{R_0}+1=\frac{R_1||Z_{C_1}+R_2||Z_{C_2}+R_0}{R_0}\label{eq:2}\]

Sviluppando, si ottiene: \[A_v(s)=\frac{s^2R_0R_1C_1R_2C_2+s[R_0R_1C_1+R_0R_2C_2+R_1R_2(C_1+C_2)]+R_0+R_1+R_2}{R_0(sR_1C_1+1)(sR_2C_2+1)}\label{eq:3}\]

Fattorizzando per \(\left [\frac{R_0+R_1+R_2}{R_0} \right ]\), che è l’amplificazione in continua, si ottiene: \[A_v(s)=\left [\frac{R_0+R_1+R_2}{R_0} \right ]\left [\frac{s^2\frac{R_0R_1C_1R_2C_2}{R_0+R_1+R_2}+s\frac{R_0R_1C_1+R_0R_2C_2+R_1R_2(C_1+C_2)}{R_0+R_1+R_2}+1}{(sR_1C_1+1)(sR_2C_2+1)} \right ]\label{eq:4}\] che è espressa nella forma: \[A_v(s)=\left [A_{dc}\right]\left [\frac{(s\tau_{z1}+1)(s\tau_{z2}+1)}{(s\tau_{p1}+1)(s\tau_{p2}+1)} \right ]=\left[ A_{dc}\right] \left [\frac{s^2\tau_{z1}\tau_{z2}+s(\tau_{z1}+\tau_{z2})+1}{(s\tau_{p1}+1)(s\tau_{p2}+1)} \right ]\label{eq:5}\]

Essendo sia numeratore che denominatore di secondo grado, è ora evidente la presenza dei due zeri e dei due poli. Confrontando la \eqref{eq:4} con la forma nota della \eqref{eq:5}, dal denominatore si ricavano facilmente le costanti di tempo dei due poli, che sono le stesse del circuito invertente: \[\tau_{p1}=R_1C_1=3180\mathrm{\,\mu s}\label{eq:6}\] \[\tau_{p2}=R_2C_2=75\mathrm{\,\mu s}\label{eq:7}\]

Sempre confrontando la \eqref{eq:4} con la \eqref{eq:5}, dal numeratore si ha in primo luogo la somma dei due zeri: \[\tau_{z1}\tau_{z2}=\frac{R_0R_1C_1R_2C_2}{R_0+R_1+R_2}=\frac{\tau_{p1}\tau_{p2}}{A_{dc}}\label{eq:8}\] ed in secondo luogo il loro prodotto: \[\tau_{z1}+\tau_{z2}=\frac{R_0R_1C_1+R_0R_2C_2+R_1R_2(C_1+C_2)}{R_0+R_1+R_2}=\frac{\tau_{p1}+\tau_{p2}}{A_{dc}}+\frac{R_1R_2(C_1+C_2)}{R_0+R_1+R_2}\label{eq:9}\]

delle quali solo τ_z1 è lo zero proprio della funzione RIAA. Esplicitando quindi τ_z2 sia dalla \eqref{eq:8} che dalla \eqref{eq:9} è possibile mettere a confronto le due equazioni, ottenendo: \[\frac{\tau_{p1}\tau_{p2}}{A_{dc}\tau_{z1}}=\frac{\tau_{p1}+\tau_{p2}}{A_{dc}}+\frac{R_1R_2(C_1+C_2)}{R_0+R_1+R_2}-\tau_{z1}\label{eq:10}\]

Essendo \(A_{dc}=\frac{R_1+R_2}{R_0}+1\), è infine possibile sostituire R₀ con \(\frac{R_1+R_2}{A_{dc}-1}\). In questo modo si ottiene un’equazione che dipende solo da A_dc, R₁ e R₂: \[\frac{\tau_{p1}\tau_{p2}}{A_{dc}\tau_{z1}}=\frac{\tau_{p1}+\tau_{p2}}{A_{dc}}+\frac{R_1R_2(C_1+C_2)}{\frac{R_1+R_2}{A_{dc}-1}+R_1+R_2}-\tau_{z1}\label{eq:11}\]

Sviluppando ed esplicitando per R₂, dopo alcuni passaggi si giunge alla forma molto più leggibile: \[R_2=R_1\frac{A_{dc}(\tau_{z1}-\tau_{p2})+\frac{\tau_{p1}\tau_{p2}}{\tau_{z1}}-\tau_{p1}}{A_{dc}(\tau_{p1}-\tau_{z1})-\frac{\tau_{p1}\tau_{p2}}{\tau_{z1}}+\tau_{p2}}=R_1\frac{A_{dc}\times\mathrm{243\,\mu s-2430\,\mu s}}{A_{dc}\times\mathrm{2862\,\mu s-675\,\mu s}}\label{eq:12}\]

Se l’amplificazione a 1 kHz vale 100, come si ha solitamente, la \eqref{eq:12} può essere semplificata in:\[R_2\approx R_1\frac{(100\times9,898)\times\mathrm{243\,\mu s-2430\,\mu s}}{(100\times9,898)\times\mathrm{2862\,\mu s-675\,\mu s}}\approx\frac{R_1}{11,90}\label{eq:13}\]

Infine, è possibile sostituire la \eqref{eq:12} nell’equazione dell’amplificazione in continua. Si ottiene quindi: \[A_{dc}=\frac{R_1+R_2}{R_0}+1\approx\frac{R_1+\frac{R_1}{11,90}}{R_0}+1=\frac{R_1\left (1+\frac{1}{11,90} \right )}{R_0}+1\label{eq:14}\]

Nella progettazione di un preamplificatore fonografico è sicuramente più comodo lavorare in termini di amplificazione ad 1 kHz, piuttosto che in amplificazione in continua. Pertanto, sostituendo l’amplificazione in continua della \eqref{eq:14} con quella ad 1 kHz, ed esplicitando R₀, si ottiene infine: \[R_0\approx\frac{R_1\left (1+\frac{1}{11,90} \right )}{A_{dc}-1}\approx\frac{R_1\left (1+\frac{1}{11,90} \right )}{9,898\times A_{\mathrm{1kHz}}-1}\approx\frac{R_1}{9,130\times A_{\mathrm{1kHz}}}\label{eq:15}\]

Dalle \eqref{eq:6}, \eqref{eq:7}, \eqref{eq:13} e \eqref{eq:15} è quindi possibile eseguire il dimensionamento del circuito.

1.2 Riduzione dell’offset

Data l’elevata amplificazione in continua del circuito, un eventuale offset d’ingresso dell’amplificatore potrebbe causare la comparsa di una tensione continua inaccettabile all’uscita del circuito. Inserendo un condensatore in serie a R₀, l’amplificazione in continua diventa unitaria e l’offset in uscita è minimizzato.

L’aggiunta di C₀ causa l’introduzione di un nuovo polo nella funzione di trasferimento. Tuttavia, se la sua capacità viene scelta sufficientemente grande da presentare una reattanza trascurabile alle basse frequenze della banda audio, l’equalizzazione RIAA resta sostanzialmente corretta. Ad esempio, è possibile scegliere una frequenza di taglio di 2 Hz, che è dieci volte più piccola della minima frequenza della banda audio: \[C_0\geqslant \frac{1}{2\pi\times2\mathrm{\,Hz}\times R_0} \approx \frac{1}{12,6\times R_0}\label{eq:16}\]

In questo modo, l’errore introdotto alle basse frequenze è inferiore a 0,01 dB, che è praticamente trascurabile ai fini pratici.

2. Dimensionamento

Il progetto di un equalizzatore RIAA non-invertente può essere effettuato partendo, ad esempio, da C₁:

\[R_1=\frac{3180\mathrm{\,\mu s}}{C_1}\label{eq:17}\]

\[R_2\approx \frac{R_1}{11,90}\]

\[C_2=\frac{75\mathrm{\,\mu s}}{R_2}\label{eq:18}\]

\[R_0\approx\frac{R_1}{9,130\times A_{\mathrm{1kHz}}}\]

\[C_0\geqslant \frac{1}{12,6\times R_0}\]

Per minimizzare l’errore alle alte frequenze introdotto dallo zero ad amplificazione unitaria, è necessario dimensionare il circuito affinché fornisca un’amplificazione sufficientemente alta, ad esempio circa 100 (40 dB) a 1 kHz. Inoltre, per non caricare eccessivamente lo stadio amplificatore con una rete a bassa impedenza e per mantenere basso il rumore di origine termica, è raccomandabile che il valore di R₀ risultante dai calcoli sia compreso tra circa 300 Ω e 1,5 kΩ, e questo restringe la scelta iniziale di C₁ a valori di alcuni nanofarad.