La rete d’equalizzazione RIAA passiva è probabilmente la rete più largamente usata nei progetti a componenti discreti, sia per i vincoli solitamente presenti in queste circuitazioni, che per via della sua maggior semplicità, non dovendo essere calcolata come una più complessa rete in retroazione. Essa viene connessa tra l’uscita di uno stadio amplificatore e l’ingresso dello stadio amplificatore successivo, realizzando la risposta in frequenza della funzione RIAA.
Il principale vantaggio di questa tipologia di configurazione è quello di seguire la corretta attenuazione del segnale d’ingresso anche alle frequenze ultrasoniche, diversamente a quanto accadrebbe -ad esempio- con una rete in retroazione in un amplificatore operazionale in configurazione non-invertente (la cui minima amplificazione non può essere mai inferiore a 1).
Per contro, questo tipo di rete introduce inevitabilmente un’attenuazione sul segnale che è poi necessario recuperare aumentando il guadagno degli stadi amplificatori, introducendo quindi certe quantità di rumore e distorsione supplementari, che possono però essere minimizzate con un’accurata progettazione degli stadi amplificatori. È inoltre necessario ricorrere a valori moderatamente elevati di \(R_1\) per non caricare eccessivamente l’amplificatore precedente la rete, e questo causa un peggioramento del rapporto segnale/rumore dovuto all’introduzione di un certo di rumore termico.
Di seguito è proposta l’analisi teorica della rete, dalla quale sono state ricavate le formule pratiche per il dimensionamento illustrate al paragrafo 2.
1. Analisi del circuito
1.1 Calcolo delle costanti di tempo
Le formule utili al dimensionamento possono essere facilmente ricavate applicando il teorema di Thévenin, col quale è immediato dimostrare come la resistenza \(R_1\) risulti collegata in parallelo all’uscita.
È quindi possibile ricavare l’impedenza della rete, applicando la formula del parallelo: \[Z_r=R_1||Z_{C_1}||(R_2+Z_{C_2})=R_1|| \frac{1}{sC_1}||\left(R_2+\frac{1}{sC_2}\right )\]
Sviluppando, raccogliendo e fattorizzando \(R_1\) si ottiene infine: \[Z_r=\frac{1}{\frac{1}{R_1}+sC_1+\frac{sC_2}{sC_2R_2+1}}=R_1\frac{sR_2C_2+1}{s^2R_1C_1R_2C_2+s(R_1C_1+R_2C_2+R_1C_2)+1}\label{eq:2}\]
Dal numeratore della \eqref{eq:2} è possibile esplicitare la costante di tempo \(\tau_z\) dello zero, che è espressa nella forma: \[(s\tau_z +1)=(sR_2C_2+1)\] da cui si ha che \(\tau_z\) (che vale 318 µs nella curva RIAA) è data da: \[R_2C_2=\tau_z=318\: \mathrm{\mu s}\label{eq:4}\]
Dal denominatore della \eqref{eq:2} è invece possibile esplicitare le costanti di tempo \(\tau_{p1}\) e \(\tau_{p2}\) dei due poli, che sono espressi nella forma: \[(s\tau_{p1}+1)(s\tau_{p2}+1)=s^2\tau_{p1}\tau_{p2}+s(\tau_{p1}+\tau_{p2})+1\] dove: \[s^2\tau_{p1}\tau_{p2}+s(\tau_{p1}+\tau_{p2})+1=s^2R_1C_1R_2C_2+s(R_1C_1+R_2C_2+R_1C_2)+1\label{eq:6}\] dalla quale si ottiene, in primo luogo: \[\tau_{p1}\tau_{p2}=R_1C_1R_2C_2=R_1C_1\tau_{z}\] quindi si ottiene la nuova costante di tempo (si ricordi che le costanti di tempo \(\tau_{p1}\) e \(\tau_{p2}\) della curva RIAA valgono rispettivamente 3180 µs e 75 µs): \[R_1C_1=\frac{\tau_{p1}\tau_{p2}}{\tau_{z}}=750\: \mathrm{\mu s}\label{eq:8}\]
Sempre dalla \eqref{eq:6} si ottiene, in secondo luogo: \[\tau_{p1}+\tau_{p2}=R_1C_1+R_2C_2+R_1C_2=\frac{\tau_{p1}\tau_{p2}}{\tau_{z}}+\tau_{z}+R_1C_2\] dalla quale si ottiene l’ultima costante di tempo: \[R_1C_2=\tau_{p1}+\tau_{p2}-\frac{\tau_{p1}\tau_{p2}}{\tau_{z}}-\tau_{z}=2187\: \mathrm{\mu s}\label{eq:10}\]
1.2 Effetto di carico
Collegando la rete ad un generatore reale e ad un carico, come accade quando la rete viene connessa tra l’uscita di uno stadio amplificatore e l’ingresso dello stadio amplificatore successivo, \(R_1\) si trova in serie alla resistenza d’uscita \(R_s\) dell’amplificatore precedente. Inoltre, la resistenza d’ingresso \(R_L\) dell’amplificatore successivo viene a trovarsi in parallelo alla rete.
Applicando nuovamente il teorema di Thevenin è immediato verificare che, per considerare gli effetti della resistenza d’uscita e d’ingresso dei due stadi amplificatori, sia sufficiente sostituire \(R_1\) nelle equazioni del paragrafo precedente con \(R’_1\), che che quindi vale: \[R’_1=(R_s+R_1)||R_L=\frac{1}{\frac{1}{R_1+R_s}+\frac{1}{R_L}}\label{eq:11}\]
Esplicitando dalla \eqref{eq:11} e raccogliendo, il valore effettivo di \(R_1\) desunto dai calcoli vale quindi: \[R_1=\frac{R_LR’_1}{R_L-R’_1}-R_s\label{eq:12}\]
Come si può facilmente intuire, se \(R_L\) è molto grande e \(R_s\) molto piccola, il valore di R1 viene praticamente a coincidere con \(R’_1\); questo è il caso pratico dei circuiti realizzati con amplificatori operazionali, che hanno impedenza d’uscita quasi nulla e impedenza d’ingresso che in prima approssimazione può considerarsi infinita.
1.3 Attenuazione
Nel caso ideale di figura 1 (senza effetto di carico) l’amplificazione della rete alla frequenza di 1 kHz vale circa 0,101, che corrisponde ad un’attenuazione di -19,9 dB.
Quando \(R_s\) e \(R_L\) assumono valori non più trascurabili, come accade nei progetti a componenti discreti, è facile dimostrare, mediante l’equazione del partitore, che l’amplificazione della rete vale: \[A_{1\mathrm{kHz}}\approx0,101\times A_{dc}=0,101\times\frac{R_L}{R_s+R_1+R_L}\]
Da queste considerazioni, è facile dimensionare gli stadi amplificatori affinché recuperino tale attenuazione e forniscano quindi l’amplificazione desiderata.
2. Dimensionamento
Le tre costanti di tempo ricavate dalle \eqref{eq:4}, \eqref{eq:8} e \eqref{eq:10} permettono di ottenere facilmente le formule pratiche utili al dimensionamento a cascata dei componenti (in riferimento allo schema di figura 3), ad esempio partendo da \(C_1\): \[R’_1=\frac{750\: \mathrm{\mu s}}{C_1}\] \[R_1=\frac{R_LR’_1}{R_L-R’_1}-R_s\] \[C_2=\frac{2187\: \mathrm{\mu s}}{R’_1}\] \[R_2=\frac{318\: \mathrm{\mu s}}{C_2}\]
Nei circuiti realizzati con amplificatori operazionali, dove \(R_s\) è trascurabile e \(R_L\) praticamente infinita, la \eqref{eq:12} può essere ignorata, assumendo \(R’_1=R_1\). Per ottenere un buon compromesso tra rumore termico e un effetto di carico ragionevole nei confronti del primo amplificatore, è preferibile che il valore di \(R_1\) sia compreso tra 20 e 60 kΩ. Pertanto, i valori di \(C_1\) dovrebbero essere scelti all’ordine di alcune decine di nanofarad.
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