Introduzione all’analisi delle reti RIAA

L’equalizzazione RIAA può essere ottenuta mediante diversi tipi di reti elettriche che forniscono la risposta in frequenza necessaria. In questo articolo si introdurranno i metodi di analisi che permettono di dimensionare questo tipo di reti.

Costanti di tempo e diagrammi di Bode

I diagrammi di Bode sono uno strumento molto efficace per valutare la risposta in frequenza di un filtro perché rappresentano, in maniera asintotica, l’andamento dell’ampiezza (modulo) e della fase al variare della frequenza. I punti del diagramma dove la pendenza della funzione diminuisce sono chiamati poli, mentre quelli dove la pendenza aumenta sono chiamati zeri. La funzione di trasferimento di un sistema lineare può essere facilmente rappresentata tenendo conto dei poli e degli zeri.

Per ottenere la risposta in frequenza RIAA è necessaro che il filtro che fornisca:

  • un primo polo con costante di tempo \(\tau_{p1}\) = 3180 µs;
  • uno zero con costante di tempo \(\tau_{z}\) = 318 µs;
  • un secondo polo con costante di tempo \(\tau_{p2}\) = 75 µs.

La relazione che lega la costante di tempo alla frequenza è: \[f=\frac{1}{2\pi\tau}\]

Da questa si ottengono rispettivamente le frequenze di 50,05 Hz, 500,5 Hz e 2122 Hz, che permettono di ricavare il diagramma di Bode seguente.

Diagramma asintotico di Bode della funzione RIAA normalizzato ad 1 kHz.

Si tratta quindi di realizzare una rete elettrica che, incorporando elementi reattivi, sia in grado di fornire la funzione desiderata.

Funzioni di trasferimento

Le analisi delle reti, dalle quali si ricavano le formule per il loro dimensionamento, possono essere effettuate studiando la funzione di trasferimento in funzione di \(s\) del circuito, che è espressa nella forma generale: \[A(s)=A_{dc}\frac{(s\tau_{z1}+1)(s\tau_{z2}+1)…(s\tau_{z(n)}+1)}{(s\tau_{p1}+1)(s\tau_{p2}+1)…(s\tau_{p(m)}+1)}\label{eq:2}\] dove \(s\) è la frequenza complessa di Laplace, che vale \(s=j\omega=j2\pi f\).

Le radici del numeratore, ovvero quei valori di \(s\) che rendono il numeratore uguale a zero, rappresentano gli zeri della funzione di trasferimento. Le radici del denominatore, ovvero i valori di \(s\) che rendono il denominatore uguale a zero, rappresentano invece i poli. Il grado di \(s\) a numeratore indica quindi il numero di zeri presenti nella funzione di trasferimento, mentre il grado di \(s\) a denominatore indica il numero di poli.

Il numero di poli corrisponde al numero di elementi reattivi indipendenti (ovvero non direttamente connessi in serie o parallelo) presenti nel circuito: due condensatori producono due poli, così anche come due induttori. I resistori non contribuiscono al numero dei poli perché non immagazzinano energia e non sono descritti da un’equazione differenziale.

Funzione di trasferimento RIAA

Poiché la funzione RIAA ha uno zero e due poli, il polinomio a numeratore è di primo grado, mentre il polinomio a denominatore è di secondo grado. La funzione di trasferimento è quindi: \[A(s)=A_{dc}\frac{s\tau_z+1}{(s\tau_{p1}+1)(s\tau_{p2}+1)}\label{eq:3}\]

Il prodotto presente a denominatore può anche essere sviluppato nella forma: \[A(s)=A_{dc}\frac{s\tau_z+1}{s^2\tau_{p1}\tau_{p2}+s(\tau_{p1}+\tau_{p2})+1}\label{eq:3b}\]

Quando si ricava la funzione di trasferimento del circuito, è molto utile raccogliere i vari termini affinché sia rappresentata in una di queste due forme. In questo modo, al posto delle costanti di tempo, si ritrovano delle relazioni tra i vari componenti del circuito: a questo punto basta un semplice confronto tra la funzione di trasferimento del circuito e le equazioni \eqref{eq:3} o \eqref{eq:3b} per ottenere le relazioni che legano i componenti alle costanti di tempo.

Amplificazione

Il guadagno di un preamplificatore fonografico è solitamente un dato di progetto. Per esempio, una testina a magnete mobile che ad 1 kHz produce una tensione di 3 mV richiede circa 40 dB di guadagno per raggiungere il livello di linea, mentre una testina a bobina mobile con un’uscita a 300 µV richiede circa 60 dB.

Le reti di equalizzazione passive non possono amplificare il segnale, ma solo attenuarlo. Di conseguenza, gli stati admplificatori devono fornire un guadagno ulteriore per compensare questa attenuazione. Al contrario, nei circuiti che usano reti in retroazione è possibile ottenere simultaneamente l’equalizzazione e l’amplificazione.

Ricavando il modulo della \eqref{eq:2} e sostituendo \(s\) con \(2\pi f\) si ottiene l’attenuazione introdotta dalla rete al variare della frequenza: \[|A_{v}|\,(f)=A_{dc}\times\frac{\sqrt{(2\pi f\tau_z)^2+1}}{\sqrt{(2\pi f\tau_{p1})^2+1}\sqrt{(2\pi f\tau_{p2})^2+1}}\]

Inserendo le costanti di tempo RIAA, si vede che alla frequenza di 1 kHz si ha \(|A_{v\mathrm{(1\,kHz)}}|\approx A_{dc}\times 0,101\approx A_{dc}/9,90\), che corrisponde ad un’attenuazione di circa 20 dB.

In generale, la rete viene dimensionata per far sì che \(A_{dc}\) sia pari a circa 9,90 volte l’amplificazione desiderata ad 1 kHz.

Funzione dell’impedenza

Poli e zeri di una rete possono essere individuati anche esaminandone l’impedenza, piuttosto che la funzione di trasferimento. Questo è molto utile in alcune reti passive, dove è agevole ottenere una funzione che descriva l’impedenza del circuito. Anche in questo caso, le relazioni per il dimensionamento possono essere ricavate per confronto.

Cenni sull’analisi dei circuiti

Le funzioni di trasferimento e le impedenze delle reti possono essere calcolate in funzione di \(s\) ricorrendo alle stesse regole che si usano per studiare partitori, componenti in serie e in parallelo. In questo caso è sufficiente ricordare che l’impedenza di una capacità \(C\) espressa in funzione di \(s\) vale: \[Z_C =\frac{1}{sC}\] mentre l’impedenza di un’induttore \(L\) vale: \[Z_L=sL\]

Il vantaggio di questo metodo è che si giunge ad una relazione in funzione di \(s\) la cui soluzione è immediata. Per esempio, l’impedenza data dal parallelo di un resistore ed un condensatore vale: \[Z_p =R\parallel Z_C=\frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{Z_C}}=\frac{1}{\frac{1}{R}+sC}=\frac{R}{1+sCR}\] mentre l’impedenza di una serie di un resistore ed un induttore vale: \[Z_s =R+Z_L=R+sL\]

Analogamente è possibile applicare la formula del partitore, espressa come \[A_v\,(s)=\frac{Z_2}{Z_1+Z_2}\] dove \(Z_2\) è l’impedenza del ramo del partitore connesso in parallelo con l’uscita e \(Z_1\) è l’impedenza del ramo connesso in serie con l’ingresso. Questo è molto utile nel calcolo delle funzioni di trasferimento.

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Autore: bsproj

Appassionato di musica e progettazione elettronica.

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