Introduzione all’analisi delle reti RIAA

L’equalizzazione RIAA può essere ottenuta mediante diversi tipi di reti elettriche che forniscono la risposta in frequenza richiesta da questo standard. In questo articolo si introdurranno i metodi di analisi che permettono di dimensionare questo tipo di reti.

1. Costanti di tempo e diagrammi di Bode

I diagrammi di Bode sono uno strumento molto efficace per valutare la risposta in frequenza di un filtro perché rappresentano, in maniera asintotica, l’andamento dell’ampiezza (modulo) e della fase al variare della frequenza. I punti del diagramma dove la pendenza della funzione diminuisce sono chiamati poli, mentre quelli dove la pendenza aumenta sono chiamati zeri. Per un sistema lineare, una funzione di trasferimento può essere facilmente rappresentata tenendo conto dei poli e degli zeri.

Per ottenere la risposta in frequenza RIAA è necessaro che il filtro che fornisca:

  • un primo polo con costante di tempo \(\tau_{p1}\) = 3180 µs;
  • uno zero con costante di tempo \(\tau_{z}\) = 318 µs;
  • un secondo polo con costante di tempo \(\tau_{p2}\) = 75 µs.

La relazione che lega la costante di tempo alla frequenza è: \[f=\frac{1}{2\pi\tau}\]

Da questa equazione si ottengono rispettivamente le frequenze di 50,05 Hz, 500,5 Hz e 2122 Hz, che permettono di ricavare il diagramma di Bode seguente.

Diagramma di bode della funzione RIAA
Fig. 1 – Diagramma asintotico di Bode per la funzione RIAA

Alla frequenza di riferimento di 1 kHz il guadagno è stato normalizzato a 40 dB in quanto questo è il valore più comune per i preamplificatori per testine a magnete mobile. Il grafico può essere facilmente adattato per i preamplificatori per testine a bobina mobile sopraelevando la funzione di altri 20 dB.

Si tratta quindi di realizzare una rete elettrica che, incorporando elementi reattivi, sia in grado di fornire la funzione desiderata.

2. Funzioni di trasferimento

Le analisi delle reti, dalle quali si ricavano le formule pratiche per il loro dimensionamento, possono essere effettuate ricavando la funzione di trasferimento in funzione di \(s\) del circuito che è espressa nella forma generale: \[A(s)=A_{dc}\frac{(s\tau_{z1}+1)(s\tau_{z2}+1)…(s\tau_{z(n)}+1)}{(s\tau_{p1}+1)(s\tau_{p2}+1)…(s\tau_{p(m)}+1)}\label{eq:2}\] dove \(s\) è la frequenza complessa di Laplace, che vale \(s=j\omega=j2\pi f\).

Il grado di \(s\) a numeratore indica il numero di zeri della funzione, mentre il grado di \(s\) a denominatore indica il numero di poli. Avendo la funzione RIAA uno zero e due poli, la sua funzione di trasferimento può essere epressa come: \[A(s)=A_{dc}\frac{(s\tau_z+1)}{(s\tau_{p1}+1)(s\tau_{p2}+1)}\label{eq:3}\]

Quando si ricava la funzione di trasferimento relativa al circuito in esame, si ottengono delle relazioni tra le grandezze dei componenti che lo costituiscono in funzione di s, invece delle costanti di tempo. Una volta che è stata ricavata la funzione di trasferimento specifica del circuito è quindi conveniente raggruppare i termini affinché risultino nella forma nota della \eqref{eq:3} in modo da ricavare agevolmente, per confronto, le relazioni che legano i componenti alle costanti di tempo; è da questo passaggio che si ottengono le equazioni utili al dimensionamento dei componenti.

Il termine \(A_{dc}\) della \eqref{eq:2} rappresenta l’amplificazione in corrente continua della rete, ovvero l’amplificazione del circuito considerando tutti i condensatori che lo costituiscono come circuiti aperti. Riferendosi al diagramma di Bode della figura 1, il guadagno in continua vale 60 dB, che è 20 dB al di sopra del guadagno alla frequenza centrale di 1 kHz. Come si vedrà, il termine \(A_{dc}\) è molto utile per la progettazione, in quanto semplifica notevolmente i calcoli.

In alternativa al metodo di analisi appena descritto, poli e zeri possono essere analogamente individuati in funzione dell’impedenza della rete anziché dalla funzione di trasferimento. Questa soluzione è preferibile nell’analisi delle reti passive, in quanto il calcolo dell’impedenza risulta immediato.

3. Amplificazione

Nella progettazione di un preamplificatore fonografico è necessario specificare il valore di amplificazione, che è in genere un dato di progetto. Infatti, il guadagno alla frequenza di riferimento di 1 kHz suggerito per le testine a magnete mobile (che hanno una tensione d’uscita di circa 5 mV) è in genere compreso tra 30 e 40 dB, mentre quello per le testine a bobina mobile (che hanno una tensione d’uscita mediamente intorno ai 500 µV), è in genere compreso tra 50 e 65 dB. In questo modo, il segnale amplificato presente all’uscita del preamplificatore fonografico si aggira intorno ai 500 mV, che è il valore tipico dei segnali a livello di linea.

Nel caso delle reti passive, che introducono un’attenuazione sul segnale, è poi necessario recuperare tale attenuazione negli stadi amplificatori, affinché forniscano il guadagno complessivo desiderato. Al contrario, nei circuiti attivi dove la rete d’equalizzazione è collegata in retroazione, è possibile in certi casi ottenere direttamente l’amplificazione desiderata all’uscita del circuito dimensionando opportunamente i componenti.

Infatti, ricavando il modulo della \eqref{eq:2}, sostituendo \(s\) con \(2\pi f\) e inserendo le costanti di tempo si ha che, nel caso generale della funzione RIAA, l’amplificazione a 1 kHz vale: \[|A_{v\mathrm{(1\,kHz)}}|=A_{dc}\times\frac{\sqrt{(2\pi\mathrm{\times 1\,kHz\times318\,\mu s})^2+1}}{\sqrt{(2\pi\mathrm{\times 1\,kHz\times3180\,\mu s})^2+1}\sqrt{(2\pi\mathrm{\times 1\,kHz\times75\,\mu s})^2+1}}\] dalla quale si ottiene che \(|A_{v\mathrm{(1\,kHz)}}|\approx A_{dc}\times 0,101\approx A_{dc}/9,90\). Si noti che questo risultato è in ragionevole accordo col valore di circa 20 dB assunto in prima approssimazione dal diagramma asintotico di Bode.

Di conseguenza, nelle reti passive, dove l’amplificazione in continua non può essere superiore a 1, la rete introduce sempre un’attenuazione alla frequenza di 1 kHz; al contrario, nei circuiti equalizzatori attivi, dove l’amplificazione in continua può essere molto maggiore di 1, è possibile in certi casi ottenere direttamente l’amplificazione complessiva richiesta.

4. Cenni sull’analisi dei circuiti

Le funzioni di trasferimento e le impedenze delle reti possono essere calcolate in funzione di s, ricorrendo alle relazioni proprie di ciascun componente, alle equazioni dei componenti in serie e parallelo e alla formula del partitore. Si ottengono così equazioni algebriche in funzione di s la cui soluzione risulta agevole.

Ad esempio, l’impedenza di una capacità può essere espressa in funzione di \(s\) come: \[Z_C =\frac{1}{sC}\] dove \(C\) è la capacità. Questo permette di calcolare agevolmente le impedenze di reti complesse, in quanto si giunge a relazioni in funzione di \(s\) la cui soluzione è immediata. Ad esempio, l’impedenza data dal parallelo tra una resistenza e una capacità vale: \[Z_p =R||Z_C=\frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{Z_C}}=\frac{1}{\frac{1}{R}+sC}=\frac{R}{1+sCR}\] mentre l’impedenza di una serie di una resistenza e una capacità vale: \[Z_s =R+Z_C=R+\frac{1}{sC}=\frac{1+sCR}{sC}\]

Pertanto, nell’analisi delle reti comprendenti componenti reattivi si procederà calcolando le impedenze mediante le formule elementari della serie e del parallelo, dalle quali si giungerà alla funzione di trasferimento o all’impedenza propria della rete in funzione di \(s\).

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Autore: bsproj

Amante della musica, appassionato di progettazione elettronica.

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