Il moltiplicatore di capacità

Gli alimentatori non stabilizzati presentano l’inconveniente di necessitare di grandi capacità di livellamento per ottenere un basso ripple.

Un circuito molto efficace per attenuare il ripple senza ricorrere ad elevate capacità di livellamento è il moltiplicatore di capacità. Pertanto, questo circuito trova applicazione in una grande varietà di circuiti a basso rumore che richiedono un’alimentazione pulita.

Inoltre, il moltiplicatore di capacità è in grado di fornire gradualmente l’alimentazione al carico al momento dell’accensione. Questo permette di realizzare degli alimentatori ad avvio graduale (soft start) che possono essere utili in determinati circuiti per ridurre rumori transitori all’accensione.

È importante notare che il moltiplicatore di capacità non fornisce alcuna stabilizzazione della tensione d’uscita. Tuttavia, associando questo circuito ad uno stadio regolatore è possibile ottenere contemporaneamente un’elevata riduzione del ripple ed una tensione d’uscita prevedibile.

Funzionamento

Nel moltiplicatore di capacità, la tensione filtrata da una filtro RC viene applicata alla base di un transistore usato come inseguitore di emettitore.

Fig. 1 – Moltiplicatore di capacità

Poiché la corrente assorbita nella base del transistore è \(\beta+1\) volte più piccola di quella fornita al carico, è possibile usare una grande resistenza nel filtro RC ottenendo un’elevata attenuazione del ripple. In pratica, per ottenere una costante di tempo abbastanza lunga, \(R\) assume valori dell’ordine delle migliaia di ohm, mentre \(C\) è in genere dell’ordine delle centinaia o migliaia di microfarad. Per le applicazioni che richiedano una maggiore attenuazione, è possibile ricorrere a più celle RC in serie o filtri passa-basso più sofisticati.

Il grafico di fig. 2 descrive gli andamenti della tensione d’ingresso, \(v_i\), della tensione filtrata applicata alla base del transistore, \(v_B\), e della tensione d’uscita, \(v_o\), dal momento dell’accensione. \(v_o\) e \(v_B\) differiscono tra loro di una caduta di tensione tra base ed emettitore, \(V_{BE}\), di circa 0,65 V.

Fig. 2 – Il moltiplicatore di capacità permette di fornire gradualmente l’alimentazione al carico

Usando il moltiplicatore di capacità, è importante assicurarsi che la caduta di tensione sul transistore, \(V_{CE}\), sia abbastanza grande da coprire con un adeguato margine tutta l’ampiezza del ripple in ingresso. Il diagramma in fig. 3 illustra gli effetti di una \(V_{CE}\) insufficiente, tale da determinare il trasferimento di una significativa porzione dell’ripple all’uscita.

Fig. 3 – Se non si assicura un’adeguata caduta di tensione sul transistore, l’efficacia del moltiplicatore di capacità è compromessa

Per ottenere una \(V_{CE}\) sufficientemente elevata, è necessario dimensionare opportunamente la resistenza \(R_1\), tenendo conto della corrente assorbita dal carico. Infatti, poiché in un transistore NPN si ha che \(I_E=I_B+I_C\) e \(I_C=\beta I_B\), la corrente entrante nella base è \(\beta+1\) volte più piccola di quella assorbita dal carico. La corrente di base determina, attraverso \(R_1\), una caduta di tensione tale per cui: \[V_{CE}=V_i-V_o=V_{R1}+{V_{BE}}=R_1\frac{I_o}{\beta+1}+V_{BE}\label{eq:vce}\] dove \(V_{R1}\) è la caduta di tensione su \(R_1\). La dipendenza da \(I_o\) della \eqref{eq:vce} descrive come il moltiplicatore di capacità non stabilizzi la tensione d’uscita a fronte delle variazioni dell’assorbimento del carico.

In pratica, nel dimensionamento di \(R_1\) conviene imporre: \[R_1>\frac{v_r}{2}\frac{(\beta+1)}{I_o}\] dove \(v_r\) è l’ampiezza picco-picco del ripple.

Tuttavia, correnti di carico modeste (oppure variabili) possono determinare un valore eccessivamente elevato di \(R_1\). In tal caso, conviene fissare la tensione di base del transistore, \(V_B\), ricorrendo ad un partitore di tensione, ottenuto connettendo un secondo resistore, \(R_2\), tra la base del transistore e il potenziale di riferimento. È altresì possibile impiegare un riferimento di tensione (p. es. un diodo Zener) per ottenere una tensione d’uscita prevedibile.

Nota: data la dipendenza da \(I_o\) della \eqref{eq:vce}, se si intende misurare il ripple in uscita di un moltipicatore di capacità è necessario assicurarsi che vi sia connesso il carico per il quale è stato progettato perché, lasciando il circuito a vuoto, si potrebbe ottenere una \(V_{CE}\) insufficiente. Al contrario, se il ripple in ingresso presenta un’ampiezza trascurabile rispetto a \(V_{BE}\) (come, p. es., quando il moltiplicatore viene connesso all’uscita di un regolatore di tensione), la scelta di \(R_1\) non è critica ed il circuito può funzionare correttamente anche a vuoto.

Il condensatore \(C_1\) deve essere scelto affinché la costante di tempo del filtro RC sia abbastanza grande rispetto alla frequenza del ripple, cioè: \[C_1\gg \frac{1}{2\pi f_rR_1}\] dove \(f_r\) è la frequenza del ripple (che corrisponde a 100 Hz negli alimentatori ad onda intera).

L’attenuazione che il moltiplicatore di capacità apporta nei confronti della fondamentale del ripple coincide approssimativamente con quella del filtro RC impiegato, per cui: \[|A_v|(f)=\frac{v_{r(o)}}{v_{r(i)}} \approx  \frac{1}{\sqrt{1+(2\pi fR_1C_1)^{2}}}\label{eq:att}\] dove \(f\) è la frequenza. Per un’analisi accurata sarebbe necessario considerare la composizione armonica del ripple, che è alquanto simile a quella di un segnale a dente di sega, e la resistenza d’ingresso che il transistore presenta alla sua base (Appendice I). In pratica, svolgendo i calcoli con \(f=f_r\), la \eqref{eq:att} permette comunque di ottenere risultati ragionevolmente accurati.

La potenza dissipata nel transistore dipende dalla corrente assorbita dal carico e dalla caduta di tensione ai capi del transistore, per cui: \[P_{Q}\approx I_{o}V_{CE}\]

Per valutare la necessità di un disspatore, è quindi possibile calcolare la temperatura di giunzione: \[T_{j}=T_{a}+\theta P_{Q}\] dove \(\theta\) è la resistenza termica del transistore impiegato (indicata dal costruttore) e \(T_a\) la temperatura ambientale. Se \(T_j\) supera la massima temperatura ammessa dal costruttore, è necessario ricorrere ad un dissipatore.

Un anello di ferrite o un resistore da pochi ohm (p. es. 100 Ω) in serie alla base sono utili a prevenire instabilità, che talvolta possono verificarsi usando condensatori ceramici a bassa ESR all’uscita. Il diodo \(D_1\) previene la polarizzazione inversa del transistore al momento dello spegnimento, nel caso in cui all’uscita del circuito fossero connessi dei condensatori elettrolitici di elevato valore.

Esempio 1: si intende progettare un moltiplicatore di capacità da connettere all’uscita di un alimentatore non stabilizzato. Il carico assorbe 50 mA, e a questa corrente l’alimentatore presenta un ripple di ampiezza picco-picco pari ad 1 V. Si dimensioni il moltiplicatore di capacità e si calcolino l’attenuazione ottenuta nei confronti del ripple e la potenza dissipata nel transistore.

Soluzione: si decide di impiegare un transistore NPN BD139-10, che presenta un \(h_{FE}\) compreso tra 63 e 160 ed una corrente di collettore massima di 1,5 A. Si calcola quindi \(R_1\):

\(R_1>\frac{1\,\mathrm{V}}{2}\frac{(160+1)}{50\,\mathrm{mA}}\approx1,61\,\mathrm{k\Omega}\Rightarrow 2,2\,\mathrm{k\Omega}\)

\(C_1\) può quindi essere scelto da:

\(C_1\gg \frac{1}{2\pi \times 100\,\mathrm{Hz}\times 2,2\,\mathrm{k\Omega}}\approx723\,\mathrm{nF}\Rightarrow 100\,\mathrm{\mu F}\)

L’attenuazione sul ripple vale approssimativamente:

\(\frac{v_{r(o)}}{v_{r(i)}} \approx  \frac{1}{\sqrt{1+(2\pi \times 100\,\mathrm{Hz}\times 2,2\,\mathrm{k\Omega}\times100\,\mathrm{\mu F})^{2}}}\approx0,00723\Rightarrow -42,8\,\mathrm{dB}\)

Il valore scelto di \(R_1\) determina, al valor medio di \(h_{FE}\) di 112, una caduta di tensione sul transistore pari a:

\(V_i-V_o\approx2,2\,\mathrm{k\Omega}\frac{50\,\mathrm{mA}}{112+1}+0,65\,\mathrm{V}\approx1,62\,\mathrm{V}\)

Pertanto, la dissipazione sul transistore vale:

\(P_Q\approx1,62\,\mathrm{V}\times 50\,\mathrm{mA}\approx81,2\,\mathrm{mW}\)

La simulazione in SPICE del problema appena descritto ha dimostrato un’attenuazione del ripple di -44,4 dB ed una \(V_{CE}\) di circa 1,2 V.

Appendice I – Costante di tempo del filtro RC

Nel moltiplicatore di capacità, un transistore agisce come inseguitore nei confronti della tensione d’uscita del filtro RC. Tuttavia, per effetto del \(\beta\) finito del transistore, c’è sempre una certa corrente di base, \(i_b\), che viene assorbita dal transistore attraverso il filtro RC, modificandone la costante di tempo.

Usando il modello a T del BJT, è possibile disegnare un circuito equivalente per lo studio degli effetti della corrente di base.

Circuito equivalente per lo studio degli effetti della corrente di base sulla costante di tempo del filtro RC.

Il circuito equivalente mostra che il filtro RC viene caricato dalla resistenza d’ingresso del transistore, \(R_{in}\), che corrisponde a: \[{R_{in}} = \left( {\beta + 1} \right)\left( {{r_e} + {R_L}} \right)\]

Questa resistenza equivalente si trova in parallelo a \(C_1\), per cui è possibile scrivere la funzione di trasferimento del filtro come: \[\begin{align}
\frac{{{v_B}}}{{{v_i}}}(s) &= \frac{{{Z_{C1}}(s)\parallel {R_{in}}}}{{{R_1} + {Z_{C1}}(s)\parallel {R_{in}}}} \\[1.2em]
&= \frac{{\frac{1}{{\frac{1}{{{R_{in}}}} + s{C_1}}}}}{{{R_1} + \frac{1}{{\frac{1}{{{R_{in}}}} + s{C_1}}}}} \\[1.2em]
&= \frac{1}{{1 + \frac{{{R_1}}}{{{R_{in}}}} + s{C_1}{R_1}}} \\[1.2em]
\end{align} \]

Dalla radice del denominatore si ottiene il polo della funzione di trasferimento. Sostituendo \(s\) con \(j2\pi f_c\) ed esplicitando \(f_c\) si ottiene: \[\begin{align}
{f_c} &= \frac{{1 + \frac{{{R_1}}}{{{R_{in}}}}}}{{2\pi {R_1}{C_1}}} \\[1.2em]
&= \frac{{1 + \frac{{{R_1}}}{{(\beta + 1)({r_e} + {R_L})}}}}{{2\pi {R_1}{C_1}}} \\[1.2em]
\end{align} \]

Tuttavia, quest’equazione può essere semplificata. Infatti, è possibile dimostrare che: \[\frac{{{V_T}}}{{{V_o}}} = \frac{{{r_e}}}{{{R_L}}}\]

Poiché tipicamente \({V_T} \ll {V_o}\), allora il termine \(r_e\) può essere trascurato. Inoltre, solitamente si ha \(\beta \gg 1\), per cui il termine \((\beta+1)\) può essere sostituito con \(\beta\). Queste semplificazioni portano a:\[{f_c} \simeq\frac{{1 + \frac{{{R_1}}}{{\beta {R_L}}}}}{{2\pi {R_1}{C_1}}}\]

Se \(\beta=100\), \({R_1} = 1{\mathrm{\,k\Omega }}\) e \({R_L} = 100{\,\mathrm{ \Omega }}\), allora la corrente di base incide aumentando solo del 10% la frequenza di taglio del filtro.

Appendice II – Impedenza d’uscita

Ricorrendo al modello a T del BJT, è possibile scrivere un’equazione che descrive l’andamento dell’impedenza d’uscita al variare della frequenza.

Circuito equivalente del moltiplicatore di capacità per il calcolo dell’impedenza d’uscita.

Poiché: \[i_b=\frac{i_e}{\beta + 1}\] dal circuito equivalente appena illustrato, è possibile scrivere l’equazione dell’impedenza d’uscita, vista dall’emettitore, in funzione di \(s\) (la variabile complessa di Laplace):\[\begin{align}
{Z_o}(s) &= \frac{{{Z_B}(s)}}{{\beta + 1}} + {r_e} \\[1.2em]
&= \frac{{{R_1}\parallel {Z_C}_1(s)}}{{\beta + 1}} + {r_e} \\[1.2em]
&= \frac{{\frac{1}{{\frac{1}{{{R_1}}} + s{C_1}}}}}{{\beta + 1}} + {r_e} \\[1.2em]
& = \frac{{\frac{{{R_1}}}{{\beta + 1}} + {r_e} + s{C_1}{R_1}{r_e}}}{{1 + s{C_1}{R_1}}} \\[1.2em]
\end{align} \]

Sostituendo \(s\) con \(j2\pi f\) nell’equazione precedente, e ricavandone il modulo, si ottiene un’equazione che descrive l’andamento dell’impedenza d’uscita in funzione della frequenza: \[\left| {{Z_o}(f )} \right| = \sqrt {\frac{{{{\left( {\frac{{{R_1}}}{{\beta + 1}} + {r_e}} \right)}^2} + {{\left( {2\pi f {C_1}{R_1}{r_e}} \right)}^2}}}{{1 + {{\left( {2\pi f {C_1}{R_1}} \right)}^2}}}} \] dove \(r_e=\frac{V_T}{I_E}\approx\frac{26\textrm{ mV}}{I_E}\). Il diagramma di Bode dell’impedenza d’uscita del circuito presenta un polo ed uno zero, come illustrato nel grafico seguente.

Impedenza d’uscita del moltiplicatore di capacità in funzione della frequenza.

È interessante notare che alle alte frequenze, l’impedenza d’uscita del moltiplicatore di capacità coincide con \(r_e\), mentre alle basse frequenze coincide con \(\frac{R_1}{\beta+1}+r_e\). Usando un resistore da 10 kΩ ed un transistore con \(\beta=100\), la resistenza d’uscita in DC corrisponde a circa 100 Ω. Per migliorare la regolazione del carico, è conveniente ridurre il valore di \(R_1\), oppure usare transistori ad alto \(\beta\), come le coppie Darlington.


Bibliografia

Horowitz P., Hill W., The art of electronics, Cambridge University Press, 2015

Cuniberti E., De Lucchi L., Elettronica, Petrini, 2013, vol. 2

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Autore: bsproj

Appassionato di musica e progettazione elettronica.

Un pensiero riguardo “Il moltiplicatore di capacità”

  1. L’articolo è molto interessante: non è facile trovare una trattazione altrettanto approfondita nei comuni testi di elettronica!

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