La differenza tra la teoria e la pratica

Due lampadine per dimostrare che le misure non servono a niente solo se non si sa come interpretarle.

Un’opinione piuttosto diffusa tra gli “audiofili” è che esista una sorta di limite invalicabile tra le previsioni teoriche e i riscontri pratici, per cui qualsiasi supposizione o misura potrebbe essere facilmente smentita da una prova empirica.

«L’amplificatore X ha una distorsione dello 0,000001% eppure “suona” peggio dell’amplificatore Y che distorce dell’1%. Questo dimostra che le misure sono inutili!»L’audiofilo superficiale

Tuttavia, questo è vero soltanto se non si conosce abbastanza bene la teoria, perché soltanto grazie ad essa si riesce ad attribuire alle misure il giusto significato. Quando diciamo che un tavolo è lungo 120 cm, non stiamo dicendo che è un bel tavolo. Se questo sembra scontato nella vita quotidiana, può non esserlo quando si parla di argomenti complessi.

Il risultato di una prova deve essere interpretato correttamente affinché sia possibile trarne delle conclusioni valide. Un frettoloso confronto tra due numeri, effettuato senza tenere conto di tutti i restanti aspetti del problema, non può che condurre a conclusioni errate; potrebbe addirittura far pensare che le misure non valgano niente.

Ed effettivamente, le misure non servono a niente se non si sa come interpretarle. Soltanto conoscendo a fondo i meccanismi che governano un dato fenomeno è possibile prevedere realisticamente le sue implicazioni.

«La distorsione armonica non è l’unica forma di degrado di un segnale. Bisogna tenere conto di molti fattori per capire perché un amplificatore “suoni” meglio di un altro.»L’audiofilo consapevole

«Ma a chi interessano tutte queste misure, quando basta “ascoltare” per capire se un amplificatore è di qualità?» si potrebbe obiettare.

A questo possiamo rispondere dicendo che è solo grazie ai dati oggettivi che siamo in grado di guidare il progresso tecnologico. Chi vuole limitarsi ad ascoltare, ha tutto il diritto di farlo; d’altronde l’alta fedeltà è prima di tutto emozione e intrattenimento. Ma il progresso non avviene – di solito – stando seduti sul divano, e i ricercatori tecnologici questo lo sanno bene.

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Se vogliamo biciclette migliori su cui pedalare, qualcuno deve pur prendersi la briga di inventarle!

Certo, la psicoacustica ha riconosciuto come alcune forme di distorsione possano addirittura risultare piacevoli all’ascolto, ma quando si parla di alta fedeltà si parla di una cosa precisa, ovvero di un approccio alla registrazione, conservazione e riproduzione audio assolutamente fedele. In altre parole, si fa in modo che siano i musicisti a suonare e l’impianto audio a riprodurre –  e non viceversa!

Per conseguire questo scopo, non si può né screditare l’importanza delle misure, né sperare che un paio di numeri possano prevedere la qualità di un amplificatore. Esistono numerose forme di degrado di un segnale, forse alcune neanche del tutto note, e soltanto con una loro totale conoscenza è possibile prevedere esattamente come un amplificatore si comporterà.

Uno dei vari esempi di degrado meno noti all’audiofilo medio è la distorsione d’intermodulazione dinamica. Questa forma di distorsione avviene quando all’ingresso di un amplificatore viene applicato un segnale con uno slew rate superiore rispetto a quello che il sistema è in grado di gestire. Questo fenomeno è stato descritto da Matti Otala, che non solo ne ha dimostrato l’esistenza, ma ne ha anche misurato la soglia di udibilità con un test in cieco (che si è attestata intorno allo 0,5% per i soggetti più sensibili).

Distorsione d'intermodulazione dinamica
Alcuni esempi di distorsione d’intermodulazione dinamica individuati da Matti Otala. (a) è il segnale di prova mentre (b), (c) e (d) sono i segnali d’uscita distorti da tre diversi amplificatori.

Impiegando un elevato fattore di retroazione, è relativamente facile ottenere amplificatori caratterizzati da una bassissima distorsione armonica e da un’elevata banda passante. Tuttavia, la retroazione non è in grado di ridurre allo stesso modo anche la distorsione d’intermodulazione dinamica, che richiede l’impiego di altre tecniche.

Questo non solo spiega perché sia facile prendere un abbaglio basandosi sui soli dati di distorsione armonica, ma apre anche un’interessante riflessione sui preconcetti che si sono radicati intorno alla retroazione negativa. Ora sappiamo che il suo uso permette di migliorare sensibilmente le prestazioni di un amplificatore, ma non si può pensare che sia sufficiente a curare tutti i mali. Per alcuni di essi, servono medicine diverse, che un buon progettista deve conoscere.

Nella parte restante di quest’articolo non esamineremo sistematicamente tutti i fattori di qualità di un amplificatore, che non possono certo essere riassunti in poche righe (e probabilmente non sono neanche del tutto noti alla data odierna). Piuttosto, vedremo una curiosa situazione per dimostrare come sia facile essere fuorviati da una misura mal interpretata. Per fare questo, rispolvereremo alcune basilari conoscenze di elettronica e prenderemo in esame un dispositivo elettronico più sorprendente di quanto si possa pensare: la lampadina!

Due lampadine in serie. Semplice, no?

L’esempio che affronteremo potrebbe apparire come uno dei più semplici esercizi di elettrotecnica. Tuttavia, tra poco vedremo come questo problema sia in realtà molto più insidioso di quanto si possa pensare.

Problema

Disponiamo di una lampadina da 12 V che, in base a quanto dichiarato dal costruttore, assorbe una corrente di 190 mA . Abbiamo verificato questo dato con una misura ed è risultato essere corretto.

Supponiamo ora di collegare in serie due lampadine identiche alla precedente. Quale sarà l’assorbimento complessivo?

«Facile! Essendo le due lampadine in serie, la corrente si dimezzerà, per cui il risultato è 95 mA!» qualcuno dirà. Eppure, questa risposta è tanto semplice quanto sbagliata. Vediamo perché tentando di risolvere il problema ricorrendo a dei semplici modelli.

Soluzione A

Modello “lampadina come un resistore”

Una prima ipotesi per risolvere il problema potrebbe essere quella di assimilare la lampadina ad un resistore, e poi fare i calcoli per vedere che corrente scorre in due resistori in serie.

Applicando la legge di Ohm possiamo calcolare facilmente la resistenza equivalente della lampadina: \[R=\mathrm{\frac{12\,V}{190\,mA}=63,2\,\Omega}\]

Se ci soffermiamo un momento ad esaminare questa relazione, potremmo dire che \(R\) è una costante di proporzionalità che descrive la relazione tra la tensione applicata alla lampadina e la corrente che vi fluisce, ed è specifica per ogni lampadina. Se poi proviamo a disegnare questa funzione in un grafico cartesiano, otteniamo una retta che passa per l’origine e ha coefficiente angolare pari ad \(R\).

Relazione tra tensione e corrente di una assumendo il comportamento di un resistore.
Relazione tra tensione e corrente assumendo il comportamento di un resistore.

Ora vediamo di usare queste considerazioni per risolvere il nostro problema. Supponiamo di collegare le due lampadine in serie, e di alimentarle con la tensione di 12 V.

Le due lampadine connesse in serie ed alimentate con una tensione di 12 V.
Le due lampadine connesse in serie ed alimentate con una tensione di 12 V.

Un modo per risolvere velocemente il problema potrebbe essere quello di considerare le due lampadine come il risultato di due resistori in serie, per cui la resistenza complessiva sarà di: \[63,2\,\Omega+63,2\,\Omega=126,4\,\Omega\] Applicando poi la legge di Ohm otteniamo la corrente che fluisce nel ramo, che è la soluzione del nostro problema: \[I_s=\mathrm{\frac{12\,V}{126,4\,\Omega}=95,0\,mA}\]

Questo “metodo rapido” presuppone che noi siamo a conoscenza del fatto che la resistenza complessiva di più resistori in serie è uguale alla somma delle singole resistenze. Se non conoscessimo questo concetto, potremmo comunque risolvere il problema applicando per esteso le leggi di Kirchhoff.

Da queste leggi otteniamo due informazioni. La prima è che, essendo le lampadine in serie, entrambe verranno attraversate dalla stessa corrente, cioè: \[I_1=I_2=I_s\] La seconda è che la somma delle differenze di potenziale (d.d.p.) ai capi di ciascuna lampadina sarà uguale alla tensione d’alimentazione, ovvero: \[V_1+V_2=\mathrm{12\,V}\]

A questo punto, per risolvere il problema non resta che impostare un sistema con le equazioni precedenti: \[\begin{matrix}
V_1+V_2=\mathrm{12\,V}\\
V_1/I_{s}=63,2\,\Omega\\
V_2/I_{s}=63,2\,\Omega
\end{matrix}\] Risolvendo questo sistema per \(I_s\) otteniamo di nuovo: \[I_s=\mathrm{\frac{12\,V}{126\,\Omega}= 95,0\,mA}\] Il risultato è in accordo coi calcoli precedenti: abbiamo fatto i conti giusti!

Esperimento

È arrivato il momento di verificare la nostra previsione con un esperimento. Prendiamo due lampadine esattamente identiche a quella del problema e le colleghiamo in serie. Colleghiamo l’alimentatore a 12 V e, con un multimetro, misuriamo la corrente che scorre nelle due lampadine e…

Sorpresa! Scopriamo che è di 127 mA (vedi foto all’inizio dell’articolo). Abbiamo commesso un errore del 25%. Che delusione!

Se fossimo delle persone superficiali, potremmo fermarci qui accettando il fatto che la scienza non sia in grado di spiegare certe cose. Al contrario, decidiamo di fare uno sforzo ed andare oltre.

Dopo aver verificato la correttezza dei calcoli, non resta che una conclusione: evidentemente la lampadina non è poi tanto simile ad un resistore come pensavamo. Anche se il nostro modello funziona perfettamente coi resistori, se vogliamo fare i conti con le lampadine dobbiamo usare un modello più adatto.

Soluzione B

Modello “lampadina come un resistore non lineare”

Durante l’esperimento precedente, abbiamo notato che i filamenti delle lampadine in serie appaiono, ovviamente, meno luminosi rispetto a quello della lampadina alimentata individualmente. Questo vuol dire che quando le lampadine sono connesse in serie i filamenti sono meno caldi. Potremmo quindi avere il sospetto che la resistenza del filamento non sia costante come pensavamo, ma dipenda in qualche modo dalla sua temperatura.

Per verificare quest’ipotesi proviamo allora ad osservare come varia la corrente assorbita dalla lampadina al variare della tensione ai suoi capi. Per effettuare queste misure, ci serviamo di un alimentatore variabile e di un multimetro. Decidiamo inoltre di effettuare la misura sulle due lampadine dell’esperimento precedente, che supponiamo essere identiche. Questo ci permetterà di fare la media delle misure per ottenere un risultato più preciso. Otteniamo questi dati:

Lampadina 1 Lampadina 2
\(V_1\) (V) \(I_1\) (mA) \(V_2\) (V) \(I_2\) (mA)
0,00 0,00 0,00 0,00
1,06 46,4 1,05 48,3
2,03 67,5 2,00 68,2
3,03 85,2 3,02 85,6
4,03 101 4,01 101
5,01 115 5,01 114
6,04 128 6,01 128
7,05 140 7,01 139
8,00 150 8,01 150
9,01 161 9,01 160
10,0 172 10,0 170
11,0 181 11,0 180
12,0 190 12,0 189
13,0 199 13,0 199
14,0 208 14,0 207

Come prima cosa, notiamo che i dati ottenuti sono davvero simili tra loro. Questo ci conferma che le lampadine sono praticamente identiche.

Dobbiamo ora trovare una nuova equazione che ci permetta di descrivere il comportamento della lampadina meglio di quanto facesse la legge di Ohm. A questo scopo, conviene disegnare un altro grafico coi nuovi dati per visualizzarne l’andamento.

Relazione tra tensione e corrente di una lampadina. Dati sperimentali (pallini) e regressione potenza calcolata al computer (linea).

Notiamo che i punti sperimentali non sono allineati su una retta come pensavamo. Dopo un attento esame ci accorgiamo che il loro andamento viene invece approssimato molto bene da una funzione potenza del tipo \(I=aV^b\). Questa volta ci sono due costanti nella formula (\(a\) e \(b\)) anziché una (\(R\)).

Calcolare queste due costanti non è semplice come nel caso della legge di Ohm, dove basta risolvere una divisione. Pertanto, ricorriamo ad un software di analisi dati che provvede a calcolarle per noi, e ci restituisce la seguente funzione potenza: \[I=0,0453\times V^{0,576}\] (nota sulle grandezze: \(a\) ha le dimensioni di \(\mathrm{A}/\mathrm{V}^b\)).

Quest’equazione è analoga alla legge di Ohm, perché descrive una proporzionalità diretta tra tensione e corrente, ma in più tiene conto anche delle variazioni termiche che si verificano nella lampadina. Potremmo dire che si tratta di una legge di Ohm “migliorata”, utile quando i fenomeni di auto-riscaldamento del filamento non possono più essere trascurati.

Proviamo ora ad inserire quest’ultima equazione nel sistema precedente al posto della legge di Ohm. Otteniamo: \[\begin{matrix}
V_1+V_2=\mathrm{12\,V}\\
I_s=0,0453\times V_1^{0,576}\\
I_s=0,0453\times V_2^{0,576}
\end{matrix}\] Risolvendo il sistema otteniamo stavolta: \[I_s=\mathrm{0,0453\left (\frac{12\,V}{2}  \right )^{0,576}=127\,mA}\] Finalmente il risultato è in accordo con le misure! Questo indica che abbiamo trovato un modello adeguato al problema che in futuro potremmo usare per risolvere altri problemi analoghi a questo.

Conclusioni

Quest’articolo ha descritto un caso comune, ma non banale, in cui l’uso di presupposti inadeguati hanno comportato delle evidenti discrepanze tra le previsioni teoriche e le osservazioni reali. Il primo metodo, perfetto nel caso dei resistori, ha fornito solo un’approssimazione grossolana nel caso delle lampadine. Successivamente, usando un metodo sperimentale più rigoroso, abbiamo previsto con grande accuratezza la situazione reale.

In definitiva possiamo dire che col giusto approccio, possiamo avvicinarci sempre di più ad una comprensione della realtà. Basta non arrendersi alla superficialità!

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Autore: bsproj

Amante della musica, appassionato di progettazione elettronica.

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