Analisi delle reti RIAA in configurazione invertente

L’equalizzazione RIAA può essere ottenuta inserendo una rete in retroazione ad uno stadio amplificatore in configurazione invertente.

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Fig. 1 – Equalizzatore RIAA invertente

L’amplificazione dello stadio è: \[A_v=\frac{Z_r}{R_0}\label{eq:1}\] dove \(Z_r\) è l’impedenza della rete. Pertanto, una volta scelta l’amplificazione dello stadio e il valore di \(R_0\), il dimensionamento dei restanti componenti è vincolato.

Nella progettazione di un preamplificatore fonografico, \(R_0\) dovrebbe essere fissata a 47 kΩ, che è l’impedenza di carico tipica delle testine a magnete mobile, e l’amplificazione dovrebbe essere compresa tra 32 e 100. In pratica, non è facile ottenere questa condizione, in quanto le resistenze assumerebbero valori eccessivamente grandi, causando un peggioramento inaccettabile del rapporto segnale/rumore dovuto al rumore di origine termica.

Tuttavia, se il circuito invertente viene fatto precedere da un ulteriore stadio attivo che permetta di ottenere l’impedenza d’ingresso desiderata (circa 47 kΩ), \(R_0\) può essere scelta all’ordine di alcuni chiloohm, e l’amplificazione può essere suddivisa sui due stadi, riducendo il rumore di origine termica.

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Fig. 2 – Preamplificatore fonografico con equalizzatore RIAA invertente

L’analisi del circuito permette di ricavare le formule utili al dimensionamento, che sono riportate al paragrafo 2.

1. Analisi del circuito

La funzione di trasferimento può essere ricavata, dalla \eqref{eq:1}, sviluppando l’impedenza della rete: \[A_v=\frac{Z_r}{R_0}=\frac{R_1||Z_{C_1}+R_2||Z_{C_2}}{R_0}=\frac{R_1||\frac{1}{sC_1}+R_2||\frac{1}{sC_2}}{R_0}\]

Sviluppando i paralleli, si ha: \[A_v(s)=\frac{\frac{1}{\frac{1}{R_1}+sC_1}+\frac{1}{\frac{1}{R_2}+sC_2}}{R_0}=\frac{\frac{R_1}{sR_1C_1+1}+\frac{R_2}{sR_2C_2+1}}{R_0}=\frac{sR_1R_2(C_1+C_2)+R_1+R_2}{R_0(sC_1R_1+1)(sC_2R_2+1)}\label{eq:3}\]

Fattorizzando la \eqref{eq:3} per \(\left [ \frac{R_1+R_2}{R_0} \right ]\), che è l’amplificazione in continua, si giunge infine a: \[A_v(s)=\left [ \frac{R_1+R_2}{R_0} \right ]\left [\frac{s\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}(C_1+C_2)+1}{(sC_1R_1+1)(sC_2R_2+1)} \right ]\label{eq:4}\] che è espressa nella forma: \[A_v(s)=A_{dc} \frac{(s \tau_z+1)}{(s \tau_{p1}+1)(s \tau_{p2}+1)}\label{eq:5}\]

Confrontando la \eqref{eq:4} con la forma nota della \eqref{eq:5}, dal denominatore si ottengono facilmente le costanti di tempo dei due poli: \[\tau_{p1}=C_1R_1=3180\mathrm{\,\mu s}\label{eq:6}\] \[\tau_{p2}=C_2R_2=75\mathrm{\,\mu s}\label{eq:7}\] mentre dal numeratore si ottiene la costante di tempo dello zero: \[\tau_z=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}(C_1+C_2)=\frac{R_1C_1R_2+R_2C_2R_1}{R_1+R_2}=\frac{\tau_{p1}R_2+\tau_{p2}R_1}{R_1+R_2}\]

Sviluppando ed esplicitando per \(R_2\), si ottiene: \[R_2=R_1\frac{\tau_z-\tau_{p2}}{\tau_{p1}-\tau_z}=R_1\frac{(318-75)\,\mathrm{\mu s}}{(3180-318)\,\mathrm{\mu s}}\approx \frac{R_1}{11,78}\label{eq:9}\]

Infine, l’amplificazione in continua vale: \[A_{dc}=\frac{R_1+R_2}{R_0}\label{eq:10}\] sostituendo \(R_2\) con la \eqref{eq:9}, si ha: \[A_{dc}=\frac{R_1+R_1\frac{\tau_z-\tau_{p2}}{\tau_{p1}-\tau_z}}{R_0}=\frac{R_1\left (1+\frac{\tau_z-\tau_{p2}}{\tau_{p1}-\tau_z} \right )}{R_0}\label{eq:11}\]

Durante la progettazione di un preamplificatore fonografico è sicuramente più pratico esprimere l’amplificazione del circuito alla frequenza di 1 kHz, piuttosto che in continua. Essendo l’amplificazione in continua circa 9,898 volte quella ad 1 kHz, la \eqref{eq:11} diventa: \[A_{\mathrm{1kHz}}\approx\frac{R_1\left (1+\frac{\tau_z-\tau_{p2}}{\tau_{p1}-\tau_z} \right )}{9,898\times R_0}\approx\frac{R_1}{9,123\times R_0}\label{eq:12}\]

Dalle equazioni \eqref{eq:6}, \eqref{eq:9}, \eqref{eq:7} e \eqref{eq:12} è quindi possibile eseguire il dimensionamento del circuito.

2. Dimensionamento

Il circuito può essere dimensionato partendo, ad esempio, da \(C_1\). \[R_1=\frac{3180\mathrm{\,\mu s}}{C_1}\] \[R_2\approx \frac{R_1}{11,78}\] \[C_2=\frac{75\mathrm{\,\mu s}}{R_2}\]

Valori ragionevoli di \(C_1\) possono essere all’ordine della decina di nanofarad. Infine, l’amplificazione a 1 kHz del circuito dipende da \(R_0\), che può essere scelta all’ordine di alcuni chiloohm: \[A_{\mathrm{1kHz}}\approx\frac{R_1}{9,123\times R_0}\]

In questo modo, è possibile stabilire l’ulteriore amplificazione necessaria che dovrà fornire lo stadio attivo che precede l’equalizzatore RIAA affinché si ottenga l’amplificazione complessiva desiderata.

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Autore: bsproj

Amante della musica, appassionato di progettazione elettronica.

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