Analisi delle reti RIAA a due stadi

L’elevato valore delle resistenze impiegate nelle reti passive e nei circuiti invertenti può portare ad un peggioramento del rapporto segnale/rumore. D’altro canto, lo zero aggiuntivo ad amplificazione unitaria della configurazione non-invertente pone un limite all’accuratezza dell’equalizzazione RIAA alle alte frequenze.

Il peggioramento del rapporto/segnale rumore delle reti passive e della configurazione invertente, e la limitata accuratezza alle alte frequenze della configurazione non-invertente, possono essere risolti suddividendo la funzione RIAA in due stadi.

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Fig. 1 – Equalizzatore RIAA a due stadi

Lo stadio attivo fornisce il primo polo (τp1 = 3180 µs) e lo zero (τz = 318 µs) della funzione RIAA, mentre lo stadio passivo fornisce il secondo polo (τp2 = 75 µs).

In questo modo, lo stadio passivo assicura la corretta attenuazione alle alte frequenze, permettendo quindi la corretta equalizzazione RIAA, mentre l’uso di due stadi separati consente la scelta di resistenze ragionevolmente piccole, permettendo di ottenere un elevato rapporto segnale/rumore.

Per contro, il progetto di un preamplificatore fonografico con equalizzatore a due stadi risulta più articolato, in quanto ciascuno stadio va esaminato separatamente.

L’analisi del circuito, dalla quale si ricava la procedura di dimensionamento descritta al paragrafo 2, può essere effettuata considerando separatamente i due stadi.

Un’applicazione pratica della tecnica descritta in quest’articolo è illustrata nel link seguente: T-Phonum MKII – Preamplificatore RIAA MM/MC ad elevate prestazioni

1. Analisi del circuito

1.1 Stadio attivo

Il primo stadio fornisce il primo polo (τp1 = 3180 µs) e lo zero (τz = 318 µs) della funzione RIAA mediante la rete in retroazione all’amplificatore operazionale.

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Fig. 2 – Stadio attivo

La funzione di trasferimento del primo stadio può essere facilmente calcolata, considerando che si tratta di un circuito in configurazione non-invertente:

\[A_v(s)=\frac{Z_r+R_0}{R_0}=\frac{R_1||Z_{C_1}+R_2+R_0}{R_0}\label{eq:1}\]

Sviluppando e raccogliendo si ottiene:

\[A_v(s)=\frac{\frac{R_1}{sR_1C_1+1}+R_2+R_0}{R_0}=\frac{sR_1C_1(R_0+R_2)+R_0+R_1+R_2}{R_0(sR_1C_1+1)}\label{eq:2}\]

Fattorizzando per \(\left [\frac{R_0+R_1+R_2}{R_0} \right ]\), che è l’amplificazione in continua dello stadio, la (2) diventa:

\[A_v(s)=\left [\frac{R_0+R_1+R_2}{R_0} \right ]\left [\frac{sR_1C_1\frac{R_0+R_2}{R_0+R_1+R_2}+1}{sR_1C_1+1} \right ]\label{eq:3}\]

che è espressa nella forma:

\[A_v(s)=A_{dc} \frac{s \tau_z+1}{s \tau_{p1}+1}\label{eq:4}\]

dove Adc rappresenta il guadagno in continua. Confrontando la \eqref{eq:3} con la \eqref{eq:4}, dal denominatore del secondo termine della \eqref{eq:3} si ha il primo polo, la cui costante di tempo è data da:

\[\tau_{p1}=R_1C_1=3180\: \mathrm{\mu s}\label{eq:5}\]

Il numeratore del secondo termine della \eqref{eq:3} fornisce invece la costante di tempo dello zero, che vale:

\[\tau_z=R_1C_1\frac{R_0+R_2}{R_0+R_1+R_2}=\tau_{p1}\frac{R_0+R_2}{R_0+R_1+R_2}\label{eq:6}\]

Dalla \eqref{eq:6} è possibile, attraverso alcuni passaggi, esplicitare R2:

\[R_2=\frac{R_1}{\frac{\tau_{p1}}{\tau_z}-1}-R_0=\frac{R_1}{9}-R_0\label{eq:7}\]

Infine, dal termine dell’amplificazione in continua è possibile esplicitare R0:

\[R_0=\frac{R_1+R_2}{A_{dc}-1}\label{eq:8}\]

Sostituendo la \eqref{eq:7} nella \eqref{eq:8} ed esplicitando nuovamente R0, si ha infine che:

\[R_0=\frac{R_1+\frac{R_1}{9}-R_0}{A_{dc}-1}=\frac{10}{9}\frac{R_1}{A_{dc}}\label{eq:9}\]

Nel progetto di un preamplificatore fonografico è sicuramente più comodo lavorare in termini di amplificazione a 1 kHz, che è in genere un dato di progetto, piuttosto che in termini di amplificazione in continua. In questo caso, la conversione può essere ricavata facilmente eseguendo il modulo della \eqref{eq:4} e sostituendo s con 2πf:

\[|A_{v}(f)|=A_{dc} \frac{\sqrt{(2\pi\times \mathrm{1\,kHz\times 318\,\mu s})^2+1}}{\sqrt{(2\pi\times \mathrm{1\,kHz\times 3180\,\mu s})^2+1}}\approx A_{dc}\times 0,112\label{eq:10}\]

Per cui, la \eqref{eq:9} può essere riscritta in funzione dell’amplificazione ad 1 kHz:

\[R_0=\frac{10}{9}\frac{R_1}{A_{dc}}\approx\frac{10}{9}\frac{R_1}{\frac{A_{1\mathrm{kHz}}}{0,112}}\approx\frac{R_1}{8,058\times A_{1\mathrm{kHz}}}\label{eq:11}\]

Dalle equazioni \eqref{eq:5}, \eqref{eq:11} e \eqref{eq:7} è possibile eseguire il dimensionamento dei componenti del primo stadio.

1.2 Stadio passivo

Il secondo stadio è costituito da una rete RC. Nello schema è stata aggiunta la resistenza di carico R4, che rappresenta la resistenza d’ingresso dello stadio successivo, in modo da valutare l’effetto di carico.

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Fig. 3 – Stadio passivo

La funzione di trasferimento può essere ricavata attraverso la formula del partitore:

\[A_v(s)=\frac{Z_{C_3}||R_4}{R_3+Z_{C_3}||R_4}=\frac{\frac{1}{sC_3}||R_4}{R_3+\frac{1}{sC_3}||R_4}\label{eq:12}\]

Sviluppando i paralleli, si ottiene:

\[A_v(s)=\frac{\frac{1}{\frac{1}{R_4}+sC_3}}{R_3+\frac{1}{\frac{1}{R_4}+sC_3}}=\frac{R_4}{sC_3R_3R_s+R_3+R_4}\label{eq:13}\]

Fattorizzando per \(\left [\frac{R_4}{R_3+R_4} \right ]\), che è l’amplificazione in continua, si giunge infine a:

\[A_v(s)=\left [\frac{R_4}{R_3+R_4} \right ]\left [\frac{1}{sC_3\frac{R_3R_4}{R_3+R_4}+1} \right ]\label{eq:14}\]

che è espressa nella forma:

\[A_v(s)=A_{dc}\frac{1}{s\tau_{p2}+1}\label{eq:15}\]

Dal denominatore del secondo termine si ottiene quindi il secondo polo della funzione RIAA, la cui costante di tempo τp2 = 75 µs è data da:

\[\tau_{p2}=C_3\frac{R_3R_4}{R_3+R_4}=C_3R_p=75\mathrm{\,\mu s}\label{eq:16}\]

dove \(R_p=R_3||R_4\). Dalla \eqref{eq:16} è quindi possibile eseguire il dimensionamento del secondo stadio.

L’amplificazione della rete, riferita ad 1 kHz, può essere ricavata eseguendo il modulo della \eqref{eq:15} e sostituendo s con 2πf:

\[|A_v(f)|= A_{dc} \frac{1}{\sqrt{(2\pi\times\mathrm{1\,kHz\times 75\,\mu s})^2+1}}\approx A_{dc}\times0,906\label{eq:17}\]

Dalla \eqref{eq:17} si ha quindi l’attenuazione introdotta dallo stadio passivo.

1.3 Amplificazione e riduzione dell’offset

Un ulteriore stadio amplificatore può essere connesso all’uscita del secondo stadio per rendere la seconda costante di tempo del secondo polo indipendente dal carico connesso all’uscita del preamplificatore fonografico.

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Fig. 3 – Preamplificatore fonografico completo di stadio d’uscita

In questo modo, Rp della \eqref{eq:16} dipende esclusivamente da R3 e R4, e l’amplificazione complessiva può essere suddivisa sui due stadi attivi. Quest’ultima è pari al prodotto delle amplificazioni dei tre stadi:

\[A_{v}= A_{v(1)}\times A_{v(2)}\times A_{v(3)}\label{eq:18}\]

Alla frequenza di 1 kHz, la \eqref{eq:18} diventa:

\[A_{v}\approx (A_{dc(1)}\times 0,112)\times (A_{dc(2)}\times 0,906)\times A_{v(3)}\approx \frac{A_{dc(1)}\times A_{dc(2)}}{9,898}A_{v(3)}\label{eq:19}\]

Sostituendo i due termini Adc con quelli ricavati dalle analisi dei due stadi, si giunge infine a:

\[A_{v}\approx \frac{\left [\frac{10}{9}\frac{R_1}{R_0} \right ]\left [\frac{R_3+R_4}{R_4} \right ]}{9,898}A_{v(3)}\approx\frac{R_1(R_3+R_4)}{8,908\times R_0R_4}A_{v(3)}\label{eq:20}\]

Pertanto, una volta che si è scelta l’amplificazione del primo stadio (ad esempio, tra 10 e 30) e si è proceduto al dimensionamento dei due stadi equalizzatori, è possibile ricavare l’amplificazione che dovrà fornire lo stadio d’uscita affinché si ottenga l’amplificazione complessiva desiderata; infatti, esplicitando Av(3) dalla \eqref{eq:18}, si ha:

\[A_{v(3)}\approx\frac{8,908\times R_0R_4}{R_1(R_3+R_4)}A_v\label{eq:21}\]

dove Av è l’amplificazione complessiva a 1 kHz che dovrà fornire il preamplificatore fonografico, ed è tipicamente compresa tra 32 e 100 nei preamplificatori per testine a magnete mobile e tra 320 e 1000 nei preamplificatori per testine a bobina mobile.

Nello schema sono stati inoltre aggiunti C0 e C4 per minimizzare le tensioni di offset. Si può dimostrare che, se la loro capacità è scelta sufficientemente grande da presentare una reattanza trascurabile alle basse frequenze, la funzione RIAA rimane sostanzialmente invariata nella banda audio. Si può ad esempio porre per entrambi una frequenza di taglio di 2 Hz. Si ottiene quindi:

\[C_0 \geqslant \frac{1}{2\pi \times \mathrm{2\,Hz}\times R_0}\approx \frac{1}{12,3\times R_0}\label{eq:22}\]

\[C_4 \geqslant \frac{1}{2\pi \times \mathrm{2\,Hz}\times (R_3+R_4)}\approx \frac{1}{12,3\times (R_3+R_4)}\label{eq:23}\]

In questo modo, si hanno tutte le formule necessarie al dimensionamento dei tre stadi.

2. Dimensionamento

Il dimensionamento di un preamplificatore fonografico con equalizzatore a due stadi, in riferimento allo schema di figura 3, può essere effettuato considerando separatamente ciascuno stadio.

Il primo stadio può essere dimensionato partendo da C1, la cui capacità può essere all’ordine di alcune decine di nanofarad, e scegliendo A1kHz(1) (che è l’amplificazione a 1 kHz del primo stadio) tra circa 10 e 30.

\[R_1=\frac{3180\: \mathrm{\mu s}}{C_1}\label{eq:24}\]

\[R_0=\frac{R_1}{8,058\times A_{1\mathrm{kHz}(1)}}\]

\[R_2=\frac{R_1}{9}-R_0\]

\[C_0 \geqslant \frac{1}{12,3\times R_0}\]

Per ottenere un ragionevole compromesso tra rumore termico e carico del primo stadio, R0 dovrebbe risultare all’ordine dei 300÷1000 Ω.

Si può poi procedere al dimensionamento del secondo stadio, partendo da C3, che può essere anch’esso scelto all’ordine di alcune decine di nanofarad.

\[R_p=\frac{75\: \mathrm{\mu s}}{C_2}\label{eq:25}\]

Si sceglie per R3 un valore normalizzato leggermente superiore a Rp, quindi si calcola R4 dalla formula del parallelo:

\[R_4=\frac{R_3R_p}{R_3-R_p}\label{eq:26}\]

Valori ragionevoli per R3 sono all’ordine di alcuni kΩ, mentre R4 dovrebbe essere circa 20÷50 volte R3. Il fatto che la costante di tempo del secondo polo dipenda dalla \eqref{eq:25} e dalla \eqref{eq:26} è un aspetto gradito in quanto, una volta trovata la combinazione di R3 e R4 che meglio approssima i calcoli, il risultato può essere particolarmente accurato.

Si calcola quindi C4:

\[C_4 \geqslant \frac{1}{12,3\times (R_3+R_4)}\]

Si procede poi al calcolo dell’amplificazione richiesta nello stadio d’uscita affinché si ottenga l’amplificazione complessiva desiderata:

\[A_{v(3)}\approx\frac{8,908\times R_0R_4}{R_1(R_3+R_4)}A_v\]

dove Av è l’amplificazione complessiva che dovrà fornire il preamplificatore a 1 kHz, e vale in genere da 32 a 100 nei preamplificatori per testine a magnete mobile e da 320 a 1000 nei preamplificatori per testine a bobina mobile. Pertanto, una volta scelta R6 all’ordine dei 300÷1000 Ω, si può ricavare R5:

\[R_5=R_6(A_{v(3)}-1)\label{eq:27}\]

Mediante un dimensionamento accurato dei componenti che stabiliscono le costanti di tempo, ovvero dei valori desunti dalle equazioni \eqref{eq:24}, \eqref{eq:11}, \eqref{eq:7}, \eqref{eq:25} e \eqref{eq:26}, è possibile ottenere una riproduzione particolarmente fedele della funzione RIAA.

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Autore: bsproj

Amante della musica, appassionato di progettazione elettronica.

5 pensieri riguardo “Analisi delle reti RIAA a due stadi”

  1. Salve! le rinnovo i miei complimenti per il sito e gli articoli, li ho letti tutti ma li rileggo ogni volta perchè sono molto appassionato del genere, soprattutto per quanto riguarda le reti riaa, volevo farle una domanda, nel caso si dovesse progettare un pre phono con due stadi riaa passivi? quali sarebbero i calcoli, i vantaggi e gli svantaggi? ci sono molti audiofili che odiano la controreazione, forse questo potrebbe essere lo spunto per un altro dei suoi articoli in modo tale da analizzare i vari risultati e giungere ad una conclusione… la ringrazio

    1. Salve Gianluca,
      grazie per i gentilissimi complimenti, che sono un grande stimolo a mantenere costantemente aggiornato il sito. Per quanto riguarda la sua domanda, la progettazione di un preamplificatore RIAA a più stadi passivi è certamente possibile, ed un approccio conveniente sia dal punto di vista del rumore che dell’headroom (cioè della accettazione dinamica all’ingresso prima che gli stadi attivi vadano in saturazione) potrebbe essere il seguente:

      [img]http://www.bsproj.it/images/comments/tsriaa1808151510.png[/img]

      Un vantaggio è legato al fatto che i calcoli sono certamente più semplici, ma d’altro canto il circuito richiede 3 stadi attivi (in questo caso, due amplificatori ed un inseguitore di tensione) e due blocchi passivi che, a parità di dimensionamento, introducono rumore termico in due punti. Tuttavia, con un dimensionamento appropriato si potrebbe comunque giungere ad un buon compromesso in termini di rumore. Questo scopo si può perseguire dimensionando gli stadi passivi in modo che siano caratterizzati da una bassa impedenza (che determina un minor rumore termico); questo rende ovviamente necessario che gli stati attivi abbiano anch’essi una bassa impedenza d’uscita affinché siano limitati gli effetti di carico.
      Per quanto riguarda la retroazione, è senz’altro convinzione diffusa che questa sia sostanzialmente deleteria in ambito audio; tuttavia, alla data odierna, questa corrente di pensiero non ha ancora trovato riscontro nei test sperimentali sia strumentali che soggettivi (in cieco). Qualche tempo fa iniziai a preparare un brevissimo articolo (mantenendo le equazioni al minimo indispensabile) con lo scopo di fare una rapida panoramica delle numerose forme in cui la retroazione possa presentarsi, cercando di mostrare come tutte queste fossero sostanzialmente identiche dopo una semplicissima rielaborazione matematica. Nel caso interessasse, credo che l’articolo dovrebbe essere disponibile entro qualche settimana.
      Di nuovo grazie per i gentilissimi complimenti. Resto volentieri a disposizione nel caso fosse d’interesse approfondire gli aspetti progettuali di un eventuale preamplificatore RIAA a più stadi passivi.
      Saluti,
      Niki

    2. Salve niki! grazie per la sua risposta completa e molto esaustiva, volevo chiedere, lei parlava di basse impedenze degli stadi riaa e di conseguenza devono avere altrettanto bassa impedenza di uscita gli stadi attivi, beh nel caso si usassero degli opamp questo problema potrebbe essere trascurabile? cioè in teoria da quello che ho capito leggendo i suoi articoli gli opamp sono progettati in modo tale da avere un elevata impedenza di ingresso e una bassa impedenza di uscita, giusto?

    3. Salve Gianluca,
      effettivamente gli amplificatori operazionali sono sicuramente dei validi candidati per quest’applicazione. Infatti, i modelli di recente costruzione si avvicinano molto al concetto di amplificatore ideale, perché presentano un’elevata impedenza d’ingresso e una bassa impedenza d’uscita. Per esempio, il modello LT1115 (che, tra l’altro, ha anche un bassissimo rumore d’ingresso) è in grado di pilotare facilmente carichi da 600 Ω.
      Durante la progettazione bisogna considerare che il carico complessivo che l’opamp vede alla sua uscita è uguale all’impedenza della rete passiva RIAA in parallelo all’impedenza della rete di retroazione usata per fissare il guadagno nella configurazione non-invertente. Calcolare queste due impedenze è semplice:

      • alle alte frequenze, l’impedenza della rete passiva RIAA è pari a (R0 + R1) nel primo stadio, e a R2 nel secondo stadio;
      • l’impedenza della rete in retroazione a ciascun op-amp è pari alla somma dei due resistori, cioè alla somma del resistore tra uscita e morsetto invertente e quello tra morsetto invertente e massa).

      In una progettazione rivolta a mantenere basso il rumore, si potrebbe fare in modo che il parallelo delle impedenze delle due reti connesse all’uscita di ciascuno stadio dalle parti dei 600 Ω se si usa l’LT1115. Da una veloce simulazione in SPICE basata su queste considerazioni si è ottenuto un raporto S/N di circa 72 dB. Ottimizzando il progetto si potrebbe ottenere un certo margine di miglioramento.
      Saluti,
      Niki

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