Analisi delle reti RIAA-inversa (anti-RIAA)

La rete RIAA-inversa è in grado di fornire la risposta in frequenza complementare a quella fornita dalle reti RIAA normalmente impiegate nei preamplificatori fonografici. Questo tipo di rete trova impieghi nella produzione dei master usati per la stampa dei dischi in vinile, quando è necessario convertire l’ingresso phono di un preamplificatore Hi-Fi in un ingresso di linea e nelle misure sui preamplificatori fonografici.

In quest’ultimo caso, la rete RIAA-inversa viene interposta tra il generatore di segnali e il preamplificatore fonografico in esame per verificarne la risposta in frequenza che, in questo modo, deve presentare un andamento costante.

1. La funzione RIAA-inversa

La funzione RIAA-inversa si ottiene invertendo la funzione di trasferimento della rete RIAA, cioè scambiandone poli e zeri. Si ottiene perciò: \[A(s)=A_{dc}\frac{(s\tau_{z1}+1)(s\tau_{z2}+1)}{(s\tau_p+1)}=A_{dc}\frac{(s\times3180\,\mathrm{\mu s}+1)(s\times75\,\mathrm{\mu s}+1)}{(s\times318\,\mathrm{\mu s}+1)}\]

Tuttavia, nessun sistema fisicamente realizzabile può fornire una funzione di trasferimento con un numero di zeri superiore al numero dei poli. Pertanto, qualsiasi rete RIAA-inversa contiene un secondo polo, estraneo alla funzione RIAA, che in fase di progettazione può essere posizionato alle frequenze ultrasoniche al fine di renderne trascurabile l’effetto in banda audio. In fig. 1 è illustrato il diagramma di Bode che mette a confronto la funzione RIAA-inversa ideale con quella ottenibile da un sistema reale.

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Fig. 1 – Diagramma di bode per le funzioni RIAA-inversa reale ed ideale.

Se il guadagno in continua è sufficientemente basso (in questo caso, -60 dB), il polo indesiderato viene a trovarsi ben oltre la banda audio rendendo trascurabile il suo effetto.

1.1 Analisi del circuito

Un circuito in grado di fornire questa funzione di trasferimento è illustrato in fig. 2.

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Fig. 2 – Rete RIAA-inversa

La funzione di trasferimento della rete è: \[A_v(s)=\frac{R_0}{R_0+R_1\parallel Z_{C_1}+R_2\parallel Z_{C_2}}=\frac{R_0}{R_0+\frac{R_1}{1+sC_1R_1}+\frac{R_2}{1+sC_2R_2}}\]

Sviluppando, si ottiene: \[A_v(s)=\frac{R_0(sR_1C_1+1)(sR_2C_2+1)}{s^2R_1C_1R_2C_2R_0+s [R_1C_1R_0+R_2C_2R_0+R_1R_2(C_1+C_2) ]+R_0+R_1+R_2}\]

Fattorizzando per \(\left [\frac{R_0}{R_0+R_1+R_2} \right ]\), che è l’amplificazione in continua della rete, si ottiene: \[A_v(s)=\left [\frac{R_0}{R_0+R_1+R_2} \right ]\left [\frac{(sR_1C_1+1)(sR_2C_2+1)}{s^2\frac{R_1C_1R_2C_2R_0}{R_0+R_1+R_2}+s\frac{R_1C_1R_0+R_2C_2R_0+R_1R_2(C_1+C_2)}{R_0+R_1+R_2}+1}\right ]\]

che è espressa nella forma: \[A_v(s)=\left [A_{dc}\right]\left [\frac{(s\tau_{z1}+1)(s\tau_{z2}+1)}{(s\tau_{p1}+1)(s\tau_{p2}+1)} \right ]=\left[ A_{dc}\right] \left [\frac{(s\tau_{p1}+1)(s\tau_{p2}+1)}{s^2\tau_{z1}\tau_{z2}+s(\tau_{z1}+\tau_{z2})+1} \right ]\]

Essendo sia numeratore che denominatore di secondo grado, è ora evidente la presenza di due zeri e dei due poli. Confrontando la (4) con la forma nota della (5), dal numeratore si ricavano facilmente le costanti di tempo dei due zeri: \[\tau_{z1}=R_1C_1=3180\mathrm{\,\mu s}\label{eq:6}\] \[\tau_{z2}=R_2C_2=75\mathrm{\,\mu s}\label{eq:7}\]

Sempre confrontando la (4) con la (5), dal denominatore si ha in primo luogo il prodotto dei due poli: \[\tau_{p1}\tau_{p2}=\frac{R_1C_1R_2C_2R_0}{R_0+R_1+R_2}=\tau_{z1}\tau_{z2}A_{dc}\]

ed in secondo luogo la loro somma: \[\tau_{p1}+\tau_{p2}=\frac{R_1C_1R_0+R_2C_2R_0+R_1R_2(C_1+C_2)}{R_0+R_1+R_2}=(\tau_{z1}+\tau_{z2})A_{dc}+\frac{R_1R_2(C_1+C_2)}{R_0+R_1+R_2}\]

delle quali solo τp1 è lo zero proprio della funzione RIAA-inversa. Esplicitando quindi τp2 sia dalla (8) che dalla (9) è possibile mettere a confronto le due equazioni, ottenendo: \[(\tau_{z1}+\tau_{z2})A_{dc}-\tau_{p1}+\frac{R_1R_2(C_1+C_2)}{R_0+R_1+R_2}=\frac{\tau_{z1}\tau_{z2}}{\tau_{p1}}A_{dc}\]

Essendo \(A_{dc}=\frac{R_0}{R_0+R_1+R_2}\), è infine possibile sostituire R0 con \(\frac{R_1+R_2}{1/A_{dc}-1}\). In questo modo si ottiene un’equazione che dipende solo da Adc, R1 e R2: \[(\tau_{z1}+\tau_{z2})A_{dc}-\tau_{p1}+\frac{R_1R_2(C_1+C_2)}{\frac{R_1+R_2}{1/A_{dc}-1}+R_1+R_2}=\frac{\tau_{z1}\tau_{z2}}{\tau_{p1}}A_{dc}\]

Sviluppando ed esplicitando per R2, dopo alcuni passaggi si giunge alla forma molto più leggibile: \[R_2=R_1\frac{\frac{\tau_{z1}\tau_{z2}}{\tau_{p1}}-\tau_{z1}+\frac{\tau_{p1}-\tau_{z2}}{A_{dc}}}{\tau_{z2}-\frac{\tau_{z1}\tau_{z2}}{\tau_{p1}}+\frac{\tau_{z1}-\tau_{p1}}{A_{dc}}}=R_1\frac{243\mathrm{\,\mu s}/A_{dc}-2430\mathrm{\,\mu s}}{2862\mathrm{\,\mu s}/A_{dc}-675\mathrm{\,\mu s}}\label{eq:12}\]

Infine, R0 può essere esplicitata dal termine dell’amplificazione in continua: \[R_0=(R_1+R_2)\frac{A_{dc}}{1-A_{dc}} \approx (R_1+R_2)\frac{A_{v\mathrm{(1\,kHz)}}\times 9,90}{1-A_{v\mathrm{(1\,kHz)}}\times 9,90}\label{eq:13}\]

La rete può essere dimensionata applicando consecutivamente le eqq. \eqref{eq:6}, \eqref{eq:12}, \eqref{eq:7} e \eqref{eq:13}. Per rendere trascurabile la presenza del secondo polo è necessario scegliere un’amplificazione in continua sufficientemente piccola, ad asempio uguale o inferiore a 0,001. In questo modo, l’amplificazione della rete a 1 kHz è di circa -40 dB.

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Autore: bsproj

Amante della musica, appassionato di progettazione elettronica.

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