Preamplificatori RIAA a massa virtuale con cancellazione polo-zero

Analisi dei preamplificatori RIAA a con ingresso a massa virtuale

Dall’analisi proposta nell’articolo “la risposta in frequenza delle testine magnetiche” è evidente come alcuni modelli di testine a magnete mobile, diversamente dalle controparti a bobina mobile, possano soffrire di limitazioni nella risposta alle alte frequenze. Tuttavia, la maggior versatilità ed economicità di molte testine a magnete mobile può giustificare la ricerca di soluzioni che permettano a questi dispositivi di ottenere prestazioni paragonabili alle più performanti testine a bobina mobile. In quest’articolo si propone l’analisi teorica di un preamplificatore fonografico a massa virtuale in grado di assicurare, mediante un’opportuna accordatura, una banda passante all’ordine delle centinaia di chilohertz.

Un’applicazione pratica di quanto descritto in quest’articolo è presente nel seguente link: Preamplificatore RIAA MM a massa virtuale

1. L’amplificatore a massa virtuale

I comuni preamplificatori per testine a magnete mobile presentano generalmente una resistenza d’ingresso piuttosto elevata in parallelo ad una capacità d’ingresso di valore noto che, risuonando con la testina, ne migliora moderatamente la risposta alle alte frequenze. Questi dispositivi sono quindi degli amplificatori di tensione, che accettano cioè una tensione \(v_i\) all’ingresso e forniscono una tensione \(v_o\) all’uscita. Il rapporto \(A_v=v_o/v_i\) prende il nome di amplificazione di tensione, che è un numero adimensionale.

Un approccio sostanzialmente differente per l’amplificazione del segnale prodotto da una testina magnetica può essere quello di connetterla ad un amplificatore con resistenza d’ingresso nulla. In questo caso la grandezza d’ingresso non è più una tensione, ma una corrente \(i_i\). Se la grandezza d’uscita è di nuovo una tensione \(v_o\), il circuito è allora un amplificatore in transresistenza. Il rapporto \(R_m=v_o/i_i\) prende quindi il nome di transresistenza e ha le dimensioni di una resistenza (infatti, \(\mathrm{V/A=\Omega}\)).

Una semplice realizzazione di quest’ultima soluzione è illustrata in fig. 1, dove la testina magnetica (rappresentata attraverso il suo modello equivalente) è collegata ai morsetti d’ingresso di un operazionale impiegato nella configurazione invertente.

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Fig. 1 – Testina magnetica connessa ad un amplificatore a transresistenza

Per effetto della reazione negativa fornita da \(R_f\), l’amplificatore operazionale fa sì che la tensione sul morsetto invertente sia la stessa presente sul morsetto non-invertente (cioè \(v_n=v_p\)). Pertanto i morsetti sono a potenziale di massa, pur non essendo fisicamente collegati tra loro. Si dice quindi che la testina è connessa ad una “massa virtuale” e la differenza di potenziale ai suoi capi è nulla.

Per ottenere questo risultato, l’amplificatore deve contrastare l’effetto di \(v_s\) sviluppando una tensione finita all’uscita; questa tensione rappresenta l’effettivo segnale d’uscita del circuito. La transresistenza del circuito (cioè \(v_o/i_i\)) dipende da \(R_f\):

\[v_o=R_fi_i\]

È quindi evidente come il circuito di fig. 1 possa essere usato per amplificare il segnale prodotto da una testina magnetica; inoltre, il fatto che quest’ultima si trovi connessa ad un “cortocircuito virtuale”, favorisce lo smorzamento delle risonanze meccaniche e può migliorare sensibilmente le prestazioni generali della testina.

Tuttavia, a causa dell’induttanza interna della testina, la risposta in frequenza del circuito di fig. 1 presenta un polo con costante di tempo:

\[\tau_{p(s)}=\frac{L_s}{R_s}\]

Il circuito fornisce dunque una risposta di tipo passa-basso con frequenza di taglio \(f_{p(s)}=\frac{1}{2\pi\tau_{p(s)}}\), che è in pratica all’ordine delle centinaia di hertz (fig. 2).

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Fig. 2 – Diagramma asintotico di Bode del circuito di fig. 1

Malgrado la risposta in frequenza del circuito di fig. 1 sia inadatta per una riproduzione audio fedele, ora si ha il vantaggio che questa non è più determinata dalla capacità in parallelo all’ingresso del preamplificatore (né a quella distribuita sui cavi di collegamento), ma dipende esclusivamente dalle caratteristiche della testina magnetica. Ne consegue, quindi, che la costante di tempo di ciascun modello di testina magnetica può essere determinata con grande accuratezza e riproducibilità, e può essere corretta mediante opportune tecniche.

2. Cancellazione polo-zero

La soluzione al problema della limitata banda passante del circuito si deve alla teoria dei sistemi lineari, che descrive come un polo e uno zero coincidenti (ovvero, con la medesima costante di tempo) possano cancellarsi a vicenda. In altre parole, se si sostituisce \(R_f\) di fig. 1 con un’opportuna impedenza \(Z_f\) è possibile aggiungere uno zero alla funzione di trasferimento del circuito. Se la  costante di tempo di quest’ultimo è la stessa di quella del polo introdotto dalla testina magnetica, quest’ultimo viene cancellato fornendo una risposta in frequenza costante data dalla somma algebrica dei due diagrammi, come illustrato in fig. 3.

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Fig. 3 – Cancellazione di un polo ed uno zero coincidenti

In questo modo è quindi possibile estendere la banda passante delle testine a magnete mobile, ottenendo una risposta in frequenza costante (sia in ampiezza che in fase) fino alle frequenze ultrasoniche, che potrebbero altrimenti essere riprodotte solo impiegando testine a bobina mobile di qualità.

Nella pratica, tuttavia, nessuna rete fisicamente realizzabile può presentare una funzione di trasferimento caratterizzata da un solo zero. È pertanto necessario che l’impedenza \(Z_f\) presenti almeno un altro polo. Essendo il circuito un preamplificatore fonografico, è possibile scegliere per quest’ultimo polo una delle costanti di tempo RIAA.

3. Preamplificatore RIAA a transresistenza

Il circuito di fig. 4 mostra una possibile realizzazione pratica di un preamplificatore RIAA a massa virtuale.

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Fig. 4 – Preamplificatore RIAA a transresistenza

Il primo stadio, cioè l’amplificatore a transresistenza, fornisce il primo polo RIAA (\(\tau_{p(1)}\) = 3180 µs) e lo zero \(\tau_{z(s)}\) utile alla cancellazione del polo \(\tau_{p(s)}\) introdotto dalla testina. Eseguendo l’analisi del primo stadio è possibile ricavare la funzione di trasferimento:

\[A_{v(1)}=\frac{X_{C_1}||R_1+R_2}{X_{L_s}+R_s}\]

da cui, sviluppando i paralleli e raccogliendo \(\left [(R_1+R_2)/R_s\right ]\) che rappresenta l’amplificazione in continua del primo stadio, si ottiene:

\[A_{v(1)}(s)=\left [ \frac{R_1+R_2}{R_s} \right ]\left [ \frac{sC_1(R_1||R_2)+1}{(s\frac{L_s}{R_s}+1)(sC_1R_1+1)} \right ] \label{eq:4}\]

Se si impone  \(L_s/R_s=C_1(R_1||R_2)\), il polo generato dalla testina viene cancellato dallo zero introdotto dalla rete in retroazione, per cui la \eqref{eq:4} si semplifica in:

\[\require{cancel}\begin{align}
A_{v(1)}(s) &=\left [ \frac{R_1+R_2}{R_s} \right ]\left [ \frac{ \cancel{sC_1(R_1||R_2)+1}}{\cancel{(s\frac{L_s}{R_s}+1)}(sC_1R_1+1)} \right ] \\
&=\left [ \frac{R_1+R_2}{R_s} \right ]\left [ \frac{1}{sC_1R_1+1} \right ]\end{align}\]

Se si dimensiona il circuito in modo che \(\tau_{p1}=C_1R_1=\mathrm{3180\,\mu s}\) (che è il primo polo della funzione RIAA), è sufficiente regolare il solo valore \(R_2\) per correggere la risposta in frequenza di qualsiasi testina senza alterare le costanti di tempo della rete RIAA.

Il secondo stadio può essere impiegato per ottenere i restanti zero (\(\tau_z\) = 318 µs) e polo (\(\tau_{p2}\) = 75 µs) della funzione RIAA. Infatti, proseguendo con l’analisi del circuito si ottiene che la funzione di trasferimento del secondo stadio è:

\[A_{v(2)}=\frac{R_5}{(X_{C_3}+R_3)||R_4}\]

da cui, sviluppando e raccogliendo \(\left [ R_5/R_4 \right ]\) che rappresenta l’amplificazione in continua del secondo stadio, si ottiene:

\[A_{v(2)}(s)=\left [ \frac{R_5}{R_4} \right ]\left [ \frac{sC_3(R_3+R_4)+1}{sC_3R_3+1} \right ] \label{eq:7}\]

Dimensionando il circuito affinché \(\tau_{z}=C_3(R_3+R_4)=\mathrm{318\,\mu s}\) e \(\tau_{p2}=C_3R_3=\mathrm{75\,\mu s}\), la funzione RIAA è completa. \(R_5\) può essere regolata per ottenere l’amplificazione complessiva desiderata.

In definitiva, il circuito permette di correggere la risposta in frequenza della testina magnetica regolando unicamente \(R_2\) e ottenendo al contempo la corretta risposta in frequenza secondo la funzione RIAA.

3.1 Capacità parassite e stabilità

La realizzazione pratica del circuito di fig. 4 può presentare problemi di stabilità dovuti alla capacità parassita distribuita sui cavi di collegamento che collegano la testina magnetica al preamplificatore fonografico. Questo inconveniente può essere facilmente risolto limitando la banda passante del primo stadio collegando un condensatore in parallelo a \(R_2\).

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Fig. 5 – Aggiunta di C2 per migliorare la stabilità

In questo modo, la \eqref{eq:4} diventa:

\[A_{v(1)}(s)=\left [ \frac{R_1+R_2}{R_s} \right ]\left [ \frac{ s(C_1+C_2)(R_1||R_2)+1}{ (s\frac{L_s}{R_s}+1)(sC_1R_1+1)(sC_2R_2+1)} \right ] \label{eq:8}\]

e imponendo \(\frac{L_s}{R_s}=(C_1+C_2)(R_1||R_2)\), la  \eqref{eq:8} si semplifica in:

\[A_{v(1)}(s)\equiv  \left [ \frac{R_1+R_2}{R_s} \right ]\left [ \frac{1}{(sC_1R_1+1)(sC_2R_2+1)} \right ]\]

Ad esempio, per ottenere una frequenza di taglio superiore \(f_{p(h)}\) ≈ 200 kHz è possibile dimensionare il circuito affinché \(\tau_{p(h)}=C_2R_2\) ≈ 0,8 µs. In questo modo le costanti di tempo RIAA non sono alterate e i problemi di stabilità sono risolti.

3.2 Dimensionamento

Le formule utili al dimensionamento possono essere ottenute dalle equazioni \eqref{eq:7} e \eqref{eq:8}. Il progetto di un preamplificatore RIAA a transresistenza può iniziare calcolando la costante di tempo del polo dovuto alla testina magnetica in esame, che vale:

\[\tau_{p(s)}=\frac{L_s}{R_s}\]

Posto \(R_1\) all’ordine di alcune decine di chiloohm (per ottenere un buon compromesso in termini di rumore) e scegliendo una frequenza di taglio superiore fp(h) ≈ 200 kHz (ovvero τp(h) ≈ 0,8 µs), si procede al dimensionamento in cascata del primo stadio:

\[C_1=\frac{3180\,\mathrm{\mu s}}{R_1}\]

\[R_2\simeq R_1\frac{\tau_{p(s)}-0,8\,\mathrm{\mu s}}{3180\,\mathrm{\mu s}-\tau_{p(s)}}\]

\[C_2=\frac{0,8\,\mathrm{\mu s}}{R_2}\]

quindi del secondo stadio:

\[C_3=\frac{75\,\mathrm{\mu s}}{R_3}\]

\[R_4=\frac{318\,\mathrm{\mu s}-75\,\mathrm{\mu s}}{C_3}\]

Infine si calcola il valore di R5 per ottenere l’amplificazione desiderata A1kHz ad 1 kHz, che è generalmente compresa tra 32 e 100:

\[R_5=A_{dc}\frac{R_s}{R_1+R_2}R_4\approx (9,898\times A_{\mathrm{1kHz}})\frac{R_s}{R_1+R_2}R_4\]

Nella realizzazione pratica è consigliabile accoppiare in alternata il circuito mediante un condensatore in serie a R4 e uno in serie all’uscita, le quali capacità dovranno essere sufficientemente grandi affinché le loro reattanze siano trascurabili alle frequenze audio.


Bibliografia

Daniel R. Mohr, Virtual ground preamplifier for magnetic phono cartridge, Patent US4470020 A, 1982

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Autore: bsproj

Amante della musica, appassionato di progettazione elettronica.

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